集合间的基本关系例题讲解

第1页集合间的基本关系例题讲解说明所选例题题型、难易程度顺序不分先后题型一根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围对于两个集合A与B,A或B中含有待定的参数（字母）,若已知集合A与B的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.（1）分类讨论:若,在未指明集合A非空时,应分为和两种情况BAAA进行讨论.（2）数形结合:在对这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将A两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.例1.已知集合,,若,求实数的43xxA112mxmxBABm取值范围.分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围.本题在分类讨论时要用到下面的结论:关于集合为空集的重要结论（1）若集合,则;nxmxAnm（2）若集合,则≥;nxmxAmn（3）若集合或,则≥.nxmxAnxmxAmn最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.m解:∵,AB112mxmxB∴分为两种情况:①当时,,解之得:;B112mm2m②当时,则有:,解之得:≤≤2.B41312112mmmm1m综上,实数的取值范围为.m1mm第2页例2.已知集合,,若,求实数0102063xxxA121mxmxBABm的取值范围.解:解不等式组得:0102063xx52x∴52xxA∵,∴分为两种情况:AB①当时,,解之得:;B121mm2m②当时,则有:,解之得:2≤.B51221121mmmm3m综上,实数的取值范围是.m3mm例3.设集合,,若,则实数042xxxA011222axaxxBAB的值取值范围为__________.a分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解B决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.解:4,0042xxxA∵,AB011222axaxxB∴分为两种情况:（1）当时,方程没有实数根B011222axax∴,解之得:;0141222aa1a（2）当时,则有或或B0B4B4,0B①当或时,方程有两个相等的实数根0B4B011222axax∴,解之得:0141222aa1a∴符合题意;0B第3页②当时,由根与系数的关系定理可得:4,0B014122aa解之得:.1a综上,实数的值取值范围为.a11aaa或★例4.已知集合,.52xxA121mxmxB（1）若,求实数的取值范围;ABm（2）若,求实数的取值范围.BAm分析:（1）本题中集合A为非空集合,因为空集是任何非空集合的真子集,所以要对含参集合B进行分类讨论;（2）由可知集合B为非空集合.BA解:（1）∵,AB121mxmxB∴分为两种情况:①当时,,解之得:;B121mm2m②当时,则有:或B51221121mmmm51221121mmmm解之得:2≤≤3.m综上所述,实数的取值范围为;m3mm（2）∵,且BAA∴,则有:解之得:实数不存在.B51221121mmmmm∴不存在实数,使得.mBA注意:在第（1）问中,当时,结果是不正确的.如下图的数轴B51221121mmmm第4页所示,应有:或.这一点雅慧你要特别注意了.51221121mmmm51221121mmmm52m1m+1252m1m+12在第（2）问中,虽然得出,但不是,应是,见B121mm121mm如下图所示的数轴,应从整体上把握题目.2m15m+12鉴于此题的重要性和代表性,雅慧,建议你整理此题,并尝试独立解决.例5.已知集合,,若,求实数的取51xxA3423axaxCACa值范围.解:∵,∴分为两种情况:AC①当时,≥,解之得:≤1;C23a34aa②当时,则有:,解之得:≤2.C5341233423aaaaa1综上所述,实数的取值范围是.a2aa例6.已知集合.52xxA（1）若,,求实数的取值范围;AB121mxmxBm（2）若,,求实数的取值范围;BA126mxmxBm（3）若,,求实数的取值范围.BA126mxmxBm解:（1）∵,,∴分为两种情况:AB121mxmxB①当时,,解之得:;B121mm2m②当时,则有:B第5页,解之得:2≤≤3.51221121mmmmm综上所述,实数的取值范围是;m3mm（2）∵,,∴BA52xxAB则有:,解之得:3≤≤451226126mmmmm∴实数的取值范围是;m43mm（3）∵BA∴,无解,即不存在实数,使得.51226mmmBA题型二集合间关系的判断判断集合间关系的常用方法（1）列举观察法当集合中元素较少时,可以列出两个集合中的全部元素,然后通过定义得出两个集合之间的关系.（2）集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合代表元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设,:xpxAxqxB①若由可推出,则；xpxqBA②若由可推出,则;xqxpAB③若与可互相推出,则。xpxqBA（3）数形结合法利用Venn图、数轴可形象直观地反映和判断两个集合之间的关系.一般地,判断不等式的解集之间的关系,适合借助于数轴.第6页例7.指出下列各组集合之间的关系:（1）,;51xxA50xxB（2）,;ZnnxxA,2ZnnxxB,4（3）,;02xxxAZnxxBn,211（4）,;0,xyyxA0,00,0,yxyxyxB或（5）,.*,12NaaxxA*,542NaaaxxB分析:（1）对于两个不等式解集关系的判断,最好借助于数轴进行;（2）弄清两个集合的代表元素和代表元素的特征,由代表元素的特征来判断两个集合的关系.本题中集合A为偶数集,集合B为能被4整除的偶数集;（3）通过解方程,用列举法表示出集合A;通过分类讨论,用列举法表示出集合B,然后用定义来判断两个集合之间的关系.（4）用集合元素特征法来判断两个集合之间的关系;（5）先对两个集合中的代表元素满足的条件进行配方,然后再进行判断.解:（1）如图所示,利用数轴表示集合A,B,所以;AB501BA（2）∵集合A是偶数集,集合B是能被4整除的偶数集,∴;AB（3）1,002xxxA当为奇数时,;n0,211ZnxxBn当为偶数时,.n1B∴,∴;1,0BBA（4）方法一:∵,∴或,∴;0xy0,0yx0,0yxBA第7页∵或,∴,∴.0,0yx0,0yx0xyAB∵,,∴.BAABBA方法二:集合A是由平面直角坐标系中第一、三象限的点组成的集合,集合B也是由第一、三象限的点组成的集合,所以;BA（5）∵*,1*,12NxxxNaaxxA*,1*,12*,5422NxxxNaaxxNaaaxxB∴.BA变式:对上面第（5）题做以下修改:,,那么A与B的关系又该如何?RaaxxA,12RaaaxxB,542例8.集合,,则【】ZkkxxM,412ZkkxxN,214（A）（B）NMNM（C）（D）M与N没有相同的元素NM解:ZkkxxZkkxxM,412,412ZkkxxZkkxxN,42,214∵,∴是奇数,是整数Zk12k2k∴.选择【C】.NM例9.已知,,试判断集合A与B的关ZkkxxA,12ZkkxxB,12第8页系.分析:若,,则.BAABBA解:任取,则,Ax01200kxZk0∵Zkkkx1,112120000∴,∴.Bx0BA任取,则Bx0Zkkx000,12∵,11212000kkxZk10∴,∴.Ax0AB∵,,∴.BAABBA说明:集合A,B表示的都是奇数集,所以就有.BA例10.设集合,,则【】ZnnxxM,14ZnnxxN,12（A）（B）（C）（D）NMMNNMMN分析:集合之间是包含或真包含关系,表示从属关系,排除选项【C】、【D】.解:ZnnxxZnnxxM,122,14∵是偶数Znn2∴.NM说明:从整除的角度也可以说明结果.题型三子集、真子集的个数问题（1）然后一个集合都是它本身的子集,即.AA（2）空集是任何集合的子集.（3）空集的子集只有一个,是空集,即它本身.（4）空集是任何非空集合的真子集.（5）若集合A含有个元素,则它有个子集,有个非空子集,有个nn2)12(n)12(n第9页真子集,有个非空真子集.)22(n例11.设集合,则集合A的真子集有【】NxxxxA且,022（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个分析:先确定集合A的元素个数,然后利用上面的结论确定其真子集的个数.本题涉及到一元二次不等式的解法,下面补充相关知识点:解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;（2）计算的值,并判断的符号;acb42（3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根;（4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.当然,在实际求解时,可简化过程.解:1,0,21,022NxxxNxxxxA且∵A含有2个元素,∴其真子集的个数为个.选择【A】.3122例12.已知集合,,则集合B的子集个数022xxZxAAxxyyB,2为【】（A）7（B）8（C）15（D）16分析:本题在用列举法表示集合A时,需要解分式不等式.≥0与不等式组)()(xgxf同解;0)(0)()(xgxgxf解:≤0的同解不等式组为,解之得:≤2.22xx02022xxxx2∴2,1,0,1022xxZxA∴,共3个元素4,1,0,2AxxyyB∴其子集的个数为.选择【B】.823第10页例13.满足条件的集合M的个数是【】5,4,3,2,12,1M（A）6（B）7（C）8（D）9分析:重要结论:对于有限集A,B,C,设集合A中含有个元素,集合B中含有n个元素.mnmNmn且*,,①若,则C的个数为;ACBm