【T】上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第1页/共23页上海市重点中学高中讲义汇编专题：数列一、填空、选择题:1、（2016年上海高考）无穷数列{}na由k个不同的数组成，nS为{}na的前n项和.若对任意∗∈Nn，{}3,2∈nS，则k的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,−⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成.2、（2015年上海高考）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即方程③的判别式△3=a32{}na﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B】3、（2014年上海高考）设无穷等比数列的公比为q，若()134limnnaaaa→∞=+++，则q=.【解析】：223111510112aaqaqqqqq−±==⇒+−=⇒=−−，∵01q，∴512q−=4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}na的公比1qq满足，且24344,3,aaaa=+=则12lim()nnaaa→∞+++=___________.【解析】：16有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第2页/共23页5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d的等差数列{}na的前n项和为nS，若533SS=，则53aa=【答案】179【解析】()()53151315333422SSaaaada=⇒+=⋅+⇒=，所以5117aa=，319aa=，所以53179aa=6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a、b除以同一个整数m，所得余数相同，即abkm−=()kZ∈，则称a、b对模m同余，用符号(mod)abm≡表示，若10(mod6)a≡(10)a，满足条件的a由小到大依次记为12,,,,naaa⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}na的前16项和为7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}na中，若10a=，2iak=*1(,22,1,2,3,)kkiNik+∈≤=，则满足2100iiaa+≥的i的最小值为8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}na满足181a=，1311log,2,(*)3,21nnnaankakNnk−−−+==∈=+，则数列{}na的前n项和nS的最大值为.有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第3页/共23页9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}na的前n项和为nS，22|2016|nSnan（0a），则使得1nnaa+≤（n∈*N）恒成立的a的最大值为.10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}na的通项公式为(1)2nnnan=−⋅+，*nN∈，则这个数列的前n项和nS=___________．11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}na中，首项13,a=公差2,d=若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．12、（宝山区2016届高三上学期期末）数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第项.有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第4页/共23页13、（崇明县2016届高三上学期期末）已知数列的各项均为正整数，对于，有其中k为使1na+为奇数的正整数.若存在，当n＞m且na为奇数时，na恒为常数p，则p的值为14、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列}{na是等差数列，2a和2014a是方程01652=+−xx的两根，则数列}{na的前2015项的和为__________．15、（虹口区2016届高三上学期期末）在等差数列{}na中，1352469,15,aaaaaa++=++=则数列{}na的前10项的和等于_____.有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第5页/共23页6、9767、1288、1279、1201610、1122,252,22nnnnnSnn+++−=−−为偶数为奇数11、20012、12813、1或514、120915、80二、解答题1、（2016年上海高考）若无穷数列{}na满足：只要*(,)pqaapqN=∈，必有11pqaa++=，则称{}na具有性质P.（1）若{}na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa====，67821aaa++=，求3a；（2）若无穷数列{}nb是等差数列，无穷数列{}nc是公比为正数的等比数列，151bc==，5181bc==，nnnabc=+判断{}na是否具有性质P，并说明理由；（3）设{}nb是无穷数列，已知*1sin()nnnabanN+=+∈.求证：“对任意1,{}naa都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”.【答案】（1）316a=．（2）{}na不具有性质Ρ．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332aaaa++=++，结合67821aaa++=求解．（2）根据{}nb的公差为20，{}nc的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nnnnabcn−=+=−+．通过计算1582aa==，248a=，63043a=，26aa≠，即知{}na不具有性质Ρ．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：（1）因为52aa=，所以63aa=，743aa==，852aa==．有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第6页/共23页于是678332aaaa++=++，又因为67821aaa++=，解得316a=．（2）{}nb的公差为20，{}nc的公比为13，所以()12012019nbnn=+−=−，1518133nnnc−−=⋅=．520193nnnnabcn−=+=−+．1582aa==，但248a=，63043a=，26aa≠，所以{}na不具有性质Ρ．（3）[证]充分性：当{}nb为常数列时，11sinnnaba+=+．对任意给定的1a，只要pqaa=，则由11sinsinpqbaba+=+，必有11pqaa++=．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{}nb不是常数列，则存在k∗∈Ν，使得12kbbbb==⋅⋅⋅==，而1kbb+≠．下面证明存在满足1sinnnnaba+=+的{}na，使得121kaaa+==⋅⋅⋅=，但21kkaa++≠．设()sinfxxxb=−−，取m∗∈Ν，使得mbπ，则()0fmmbππ=−，()0fmmbππ−=−−，故存在c使得()0fc=．取1ac=，因为1sinnnaba+=+（1nk≤≤），所以21sinabcca=+==，依此类推，得121kaaac+==⋅⋅⋅==．但2111sinsinsinkkkkababcbc++++=+=+≠+，即21kkaa++≠．所以{}na不具有性质Ρ，矛盾．学科&网必要性得证．综上，“对任意1a，{}na都具有性质Ρ”的充要条件为“{}nb是常数列”．有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第7页/共23页2、（2015年上海高考）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第n00na项是最大项，即≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．2、（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2bn+a1﹣2b1，②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第8页/共23页3、（2014年上海高考）已知数列{}na满足1133nnnaaa+≤≤，*n∈N，11a=.(1)若2342,,9aaxa===，求x的取值范围；(2)设{}na是公比为q的等比数列，12nnSaaa=+++.若1133nnnSSS+≤≤，*n∈N，求q的取值范围；(3)若12,,,kaaa成等差数列，且121000kaaa+++=，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列12,,,kaaa的公差.3、【解析】：（1）依题意，232133aaa≤≤，∴263x≤≤，又343133aaa≤≤，∴327x≤≤，综上可得36x≤≤；（2）由已知得1nnaq−=，又121133aaa≤≤，∴133q≤≤当1q=时，nSn=，1133nnnSSS+≤≤，即133nnn≤+≤，成立当13q≤时，11nnqSq−=−，1133nnnSSS+≤≤，即1111133111nnnqqqqqq+−−−≤≤−−−，∴111331nnqq+−≤≤−，此不等式即11320320nnnnqqqq++−−≥−+≤，∵1q，∴132(31)2220nnnnqqqqq+−−=−−−，对于不等式1320nnqq+−+≤，令1n=，得2320qq−+≤，解得12q≤≤，又当12q≤时，30q−，∴132(3)2(3)2(1)(2)0nnnqqqqqqqq+−+=−+≤−+=−−≤成立，∴12q≤当113q≤时，11nnqSq−=−，1133nnnSSS+≤≤，即1111133111nnnqqqqqq+−−−≤≤−−−，即11320320nnnnqqqq++−−≤−+≥，310,30qq−−∵132(31)2220nnnnqqqqq+−−=−−−132(3)2(3)2(1)(2)0nnnqqqqqqqq+−+=−+≥−+=−−有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第9页/共23页∴113q≤时，不等式恒成立综上，q的取值范围为123q≤≤（3）设公差为d，显然，当1000,0kd==时，是一组符合题意的解，∴max1000k≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3kdkdkd+−≤+−≤+−，∴(21)2(25)2kdkd−≥−−≥−，当1000k≥时，不等式即22,2125ddkk≥−≥−−−，∴221dk≥−−，12(1)...10002kkkdaaak−+++=+=，∴1000k≥时，200022(1)21kdkkk−=≥−−−，解得10009990001000999000k−≤≤+，∴1999k≤，∴k的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999kdkk−