2.3.1直线与平面垂直的判定

课后智能提升课堂互动讲义课前预习学案工具栏目导引必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2．3直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1直线与平面垂直的判定直线与平面的垂直1．假设书有无数页，竖立在桌面上，书脊所在直线与桌面给人以垂直的印象．[问题1]书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系？[提示]垂直[问题2]书脊所在直线与桌面中任意一条直线的位置关系？[提示]垂直[问题3]如果直线l与平面α内的两条直线垂直，则直线l和平面α互相垂直？[提示]如果两条直线平行，不垂直(如图)；如果两条直线相交，垂直．一、直线与平面垂直直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的______直线都______，就说直线l与平面α互相垂直，记作______.直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做______．所有垂直l⊥α垂线垂面垂足画法通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：l⊥al⊥b_________________________⇒l⊥α两条相交直线a∩b＝Aa⊂αb⊂α直线与平面所成的角2．如图是比萨著名的斜塔，把斜塔看成一条直线，把地面看成平面．[问题1]上述中直线与平面有何位置关系？[提示]相交[问题2]直线与平面也能形成角吗？[提示]能[问题3]直线与平面形成的角同异面直线所成角一样都是由空间角转化为平面角吗？[提示]能二、直线与平面所成的角直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的______所成的____，叫做这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是______.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是_____.射影角90°0°范围0°≤θ≤90°画法如图，__________就是斜线AP与平面α所成的角．∠PAO1．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．1．下列结论中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3解析：由直线与平面垂直的判定定理知①②错误，由异面直线所成的角知③错误，④正确．答案：B2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由正方体的性质可知，DD1⊥平面ABCD，则∠D1AD即为直线AD1与平面ABCD所成的角，易得∠D1AD＝45°.答案：B3.如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，又AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，BC，AC(2)BC4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.直线和平面垂直的判定如图所示，空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，垂足为E，作AH⊥BE，垂足为H.求证：AH⊥平面BCD.[思路点拨]取AB的中点F，连接CF、DF―→CF⊥AB，DF⊥AB―→AB⊥平面CDF―→AB⊥CD―――→BE⊥CDCD⊥平面ABE―→AH⊥CD――――→AH⊥BEAH⊥平面BCD[边听边记]证明：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF.由已知AC＝BC，AD＝BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF.∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.而CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD.又∵BE⊥CD，且AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.又AH⊂平面ABE，∴AH⊥CD.又∵AH⊥BE，且BE∩CD＝E，BE⊂平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AH⊥平面BCD.线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．1.如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求证：PB⊥平面AMN.证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)∵BC⊥平面PAC，AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN，又AN⊥PC，BC∩PC＝C，∴AN⊥平面PBC，∴AN⊥PB，又AM⊥PB，AN∩AM＝A，∴PB⊥平面AMN.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于点O.求证：A1O⊥平面MBD.[思路点拨](1)证明BD⊥面AA1C1C―→证明BD⊥A1O(2)在矩形AA1C1C中，利用勾股定理证明A1O⊥OM，解答本题利用线面垂直判定定理证明结论．[规范解答]证明：连结A1M，MO，A1C1，在正方体中，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1C1C，4分又A1O⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1O.6分在矩形AA1C1C中，A1O＝AA21＋AO2，OM＝MC2＋OC2，A1M＝A1C21＋C1M2.令正方体的棱长为1，则有A1M2＝A1O2＋OM2，∠A1OM＝90°，即A1O⊥OM.8分又BD∩OM＝O，BD，OM⊂平面MBD，∴A1O⊥平面MBD.12分解决线面垂直问题，常转化为证明线线垂直，而证明线线垂直常见的方法有：(1)利用勾股定理的逆定理，即在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即AB⊥BC；(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线．即在△ABC中，AB＝AC，E为BC边的中点，则AE⊥BC；(3)利用线面垂直的定义，即a⊥α，b⊂α，则a⊥b；(4)利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c.2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E为C1D1的中点．求证：DE⊥平面BCE.证明：∵BC⊥CD，BC⊥CC1，CD∩CC1＝C∴BC⊥平面CDD1C1又DE⊂面CDD1C1∴DE⊥BC在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝2a，∴CD2＝CE2＋DE2即∠DEC＝90°，∴DE⊥CE又∵BC∩CE＝C∴DE⊥平面BCE.直线与平面所成的角如图，三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．[思路点拨]∠ASB＝∠ASC＝60°SA＝SB＝SC―→SA＝AC＝AB―→取BC中点D―→AD⊥BC―→证AD2＋SD2＝SA2―→AD⊥SD―→AD⊥平面SBC―→∠ASD为所求角―→结论解析：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此，AB＝AC.取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝2a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝22a，则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．解析：取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.◎平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA、PB、PC，且PA＝PB＝PC.若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.【错解】证明：如图，连结AO、BO、CO及PO.∵O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC.又∵PA＝PB＝PC，PO为公共边，∴△AOP≌△BOP≌△COP.∴∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°，于是由PO⊥OA、PO⊥OB推知PO⊥平面ABC.【错因】错解仅从三个三角形全等，就认为必有∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°，这是没有根据的．三个三角形全等只能保证∠AOP＝∠BOP＝∠COP，没有根据说这些角都是直角．因此，上述证明是错误的．【正解】证明：如图，取AB、BC的中点D、E，连结PD、PE、OD、OE.∵PA＝PB＝PC，∴PD⊥AB，PE⊥BC.又∵O为△ABC的外心∴OD⊥AB，OE⊥BC.∴AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO.于是有AB⊥PO，BC⊥PO，又∵AB∩BC＝B，AB⊂面ABC，BC⊂面ABC.从而推得PO⊥平面ABC.