(完整版)常微分方程在数学建模中的应用.

微分方程应用1引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3常微分方程模型3．1常微分方程的简介洛阳师范学院本科毕业论文1微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)(ty表示总数，第一句话告诉我们洛阳师范学院本科毕业论文2kydtdy它的通解为ktyAeA和k这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(y(3.1)和,400)24(y(3.2)其中t的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0AAey(3.2)意味着.400100)24(24key它给出.24)4(lnk故.100)(244lntety要我们求的是200100)12(4ln)2412(ey个细菌．例2将室内一支读数为60的温度计放到室外．10min后，温度计的读数为70；又过了10min，读数为76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T的物体放进处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。所以，用了两段话来作为我们求解的出发点．洛阳师范学院本科毕业论文3第三段关键词“以某一速度变化”．这句话是说dtdT与mT是成正比例的，即)(mTkdtdT．给出的三个特定条件是：76)20(,70)10(,60)0(TTT．其中t的单位是分钟，而的单位是度。微分方程的解为mAeTkt解出三个常数mkA,,解出85m．例3红绿灯问题在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则.这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？现在，让我们来分析一下这个问题．在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口．如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车．也就是说，在街道上存在着一条无形的线，从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大．当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口．大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用）．对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口．根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：步1.根据该街道的法定速度0v求出停车线位置（即停车线到街口的距离）步2.根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久（停车线的确定）要确定停车线位置应当考虑到两点：(1)驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间1t，在这段时间里，驾驶员尚未刹车．洛阳师范学院本科毕业论文4(2)驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离．驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）1t较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）．例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）．停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下．设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f，)(tx为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）．由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程0022,0)0(vdtdxxfmgdtxdmt(3.3)在方程(3.3)两边同除以m并积分一次，并注意到当0t时0vdtdx，得到0vfgtdtdx(3.4)刹车时间2t可这样求得，当2tt时，0dtdx，故fgvt02将(3.4)再积分一次，得tvfgttx0221)(将fgvt02代入，即可求得停车距离为fgvtx20221)(据此可知，停车线到路口的距离应为：fgvtvL201021等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离．洛阳师范学院本科毕业论文5（黄灯时间的计算）现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了．在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口．记街道的宽度为D（D很容易测得），平均车身长度为l，这些车辆应通过的路程最长可达到lDL，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：0vlDLT．3．3建立常微分方程模型的方法和步骤从上边的例子大致可以看出微分方程模型的特点是反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关是一个动态(力)系统．构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：1．运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的.如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，傅里叶传热导定律，弹性形变中的虎克定律，拆里定律，阿基米德原理，放射性问题中的衰变率，生物学、经济学、人口问题中的增长率等．2．利用导数的定义建立微分方程模型在微积分中导数是一个重要概念，其定义为xyxxfxxfdxdyxx00lim)()(lim如果函数)(xf是可微的，那么dxdy就可解释为y相对于x在该点的瞬时变化率。把导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用．如在生物学以及人口问题研究中出现的“速率”、“增长”；在放射问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际的”等，这些词的出现就是一个信号，这个时候要注意哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示中．例如在考古学中，经常需要测定某种文物的绝对年龄，这时我们可以考察其中的放射性物质，由裂变规律：放射性物质的裂变速度与其存余量成正比．我们假设时刻t时该放射性物质的存余量为u，u是t的函数，则我们可以建立常微分方程模型kudtdu其中0k是衰变系数，与放射性物质本身有关.求解该模型，我们解得：ktceu,洛阳师范学院本科毕业论文6其中c是待定系数，它可以由初始条件确定.这样我们就可以测定这种文物的绝对年龄.3．利用微元法建立常微分方程模型这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定律建立模型．一般的，如果某一实际问题中所求的变量I符合下列条件：I是与一个自变量x的变化区间],[ba有关的量；I对于区间],[ba具有可加性；部分量iiixfI)(．那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型，其步骤是：根据问题的具体情况，选取一个自变量x，并确定其变化区间为],[ba；在区间],[ba中任意选取一个任意小的区间记作],[dxxx，求出相应于这个区间的部分量I的近似值．将I近似的表示为一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，即dxxfI)(，记dIdxxf)(，dI称为量I的微元．等式两边同时积分就可以求出要求的量I了．这种方法经常被应用于各种领域．例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、静力矩与重心．4.模拟近似对于规律或现象不很清楚，比较复杂的实际问题，常用模拟近似法来建立常微分方程模型．这类模型一般要做一些合理假设，将要研究的问题突出出来．这个过程往往是近似的，因此用此法建立常微分方程模型后，要分析其解的有关性质，在此基础上同实际情况对比，看所建立的模型是否符合实际，必要时要对假设或模型进行修改．3.4建立微分方程模型的一般准则在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律．微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线．(1)转化翻译：有许多表示导数的常用词，如速率、增长、衰变、边际、弹性等．改变、变化、增加、减少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变，随什么而变