5.4-二次函数与一元二次方程

5.4二次函数与一元二次方程九年级(下册)初中数学1温故知新（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程x＋2＝0的根为________（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根－20－22022动手操作：画出y＝x2－2x－3的图象xyy＝x2－2x－33探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为（－1，0）（3，0）方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1,x2＝3你发现了什么？（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决4例题精讲1.求二次函数y＝x2＋4x－5图像与x轴的交点坐标解：令y＝0则x2＋4x－5＝0解之得，x1＝－5,x2＝1∴交点坐标为：（－5，0）（1，0）结论一：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（），B（）X1，0X2，05练习：求函数图像与x轴的交点坐标是什么？试试看！y＝－x2＋6x－9y＝2x2＋3x-56与x轴的公共点个数2个1个0个一元二次方程根的个数2个等根0个b2-4ac=02个不等根b2-4ac＞0b2-4ac＜0探究二：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？7一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根1、b2-4ac＞02、b2-4ac=03、b2-4ac＜08结论：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，（1）b2－4ac＞0函数与x轴有两个交点（2）b2－4ac＝0函数与x轴有一个交点（3）b2－4ac＜0函数与x轴没有交点9例题精讲2.判断下列二次函数图象与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）解：（1）∵b2－4ac＝02－4×1×（－1）＞0∴函数与x轴有两个交点10例题精讲2.判断下列二次函数与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）解：（2）∵b2－4ac＝32－4×（－2）×（－9）＜0∴函数与x轴没有交点11例题精讲2.判断下列二次函数与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）解：（3）∵b2－4ac＝42－4×1×4＝0∴函数与x轴有一个交点12例题精讲2.判断下列二次函数与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）解：（4）∵b2－4ac＝（a＋b）2－4×（－a）×（－b）＝（a－b）2≥0∴函数与x轴有一个或两个交点13探究三、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点情况?对于抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点可令x=0则y=c.结论3:抛物线y=ax2+bx+c与y轴只有一个交点为(0,c).14二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.探究四15例题精讲3.二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点（即相切），求出b的值.解：由题意，得消元，得x2－x－3＝x＋b整理，得x2－2x－（3＋b）＝0∵有唯一交点∴（－2）2＋4（3＋b）＝0解之得，b＝－4y＝x2－x－3y＝x＋b16探究五:如果(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),你能否讨论当x为何值时,y﹥0.y=0.y﹤0呢?练习:已知抛物线y=x2-3x-4(1)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标.(2)求抛物线与x轴两交点之间的距离.(3)当x为何值时,y﹥0.y=0.y﹤0.cbxaxy2结论4:图(1)当x﹤x1或x﹥x2时,y﹥0.当x=x1或x=x2时y=0.当x1﹤x﹤x2时,y﹤0.图(2)当x1﹤x﹤x2时,y﹥0当x=x1或x=x2时y=0.当x﹤x1或x﹥x2时,y﹤0.xxyyoox1x2x1x2(1)(2)17交流总结同学们，通过这节课的学习，你收获了什么？1819