应用数理统计第二章参数估计(3)区间估计

1为了估计总体X的未知参数，前面已经介绍了矩估计法和极大似然估计法．由于总体X的未知参数的估计量是随机变量，无论这个估计量的性质多么好，它只能是未知参数的近似值，而不是的真值．并且样本不同，所得到的估计值也不同．那么的真值在什么范围内呢？是否能通过样本，寻求一个区间，并且给出此区间包含参数真值的可信程度．这就是总体未知参数的区间估计问题．ˆ§2·4区间估计2定义1设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参数,,对于给定值(01),若由样本X1,X2,…,Xn确定的两个统计量和满足则称随机区间是的置信度为的置信区间,12(,))1(和分别称为置信度为的双侧置信区间的置信下限与置信上限，称为置信水平(置信度)．12)1()1(),,,(21nXXX),,,(21nXXX12{}1P2.4.1区间估计的一般步骤这种估计的方法叫做区间估计.评价一置信区间好坏的两个标准：1）精度：越小越好；212）置信度：越大越好.12{}P312{}1P１）当Ｘ是连续型随机变量时，对于给定的，我们总是按要求：求出置信区间．［注］２）当Ｘ是离散型随机变量时，对于给定的，常常找不到区间使得恰好为．此时我们去找使得尽可能地接近．12(,))1(12{}P12(,)12{}P)1(4区间估计的一般步骤：•1.给出“好”的点估计（按前面的标准），并知道它的分布（只依赖待估的未知参数）；•2.求一个区间（参数的一个邻域）或，使得对于给定的置信水平，且一般要求区间长尽可能小。将不等式变形得到等价的形式其中g(x)为可逆的已知函数，的分布已知且与θ无关。]ˆ,ˆ[ba]ˆ,ˆ[dc1}ˆˆ{baP)}();,...,,()({}ˆˆ{21bgXXXTagban};,...,,(21nXXXT5对于给定的(01),令121/XPun设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn是总体X的样本，求,2的置信水平为(1)的置信区间.)1,0(~/NnX2.4.2单个正态总体的情况⑴均值的置信区间(a)2为已知时,因为1/21/21PXuXunn求得的置信度水平为(1)的置信区间:(2为已知)/2/21/2u1/2u12Xun1/21/2,XuXunn或X是,的无偏估计,且6(b)2为未知时,因为S2是2的点估计量,所以用S替换,~(1)1XtnSn1212(1)(1)11XPtntnSn1212(1)(1)111SSPXtnXtnnn1212*(1)(1)1SSXtnorXtnnn求得的置信水平为(1)的置信区间:(2未知)/2/21/2(1)tn1/2(1)tn71)例如当=0.05时,即1-=0.95,1.96161,1.96161XX查表得于是得到的置信水平为0.95的置信区间:即49.0X即(4.71,5.69)这时已不是随机区间,说明的真值含在(4.71,5.69)的可信程度为95%.2)若样本值为,则得到一个置信区间20.5x)49.020.5(3)置信水平为(1)的置信区间不唯一.如上例=0.05,可证0.960.990.95/XPzzn又若=1,n=16,0.9750.975,XzXznn置信区间长度越短表示估计的精度越高.0.9751.96z÷÷96.099.0,znXznX8例1有一大批月饼，现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496，设袋装月饼的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信度为0.95的置信区间。解：2未知,1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,0.975(15)2.1315t503.75,*6.2022xS1315.2162022.675.503由公式(2)得均值的置信度为0.95的置信区间为即（500.4,507.1）这就是说估计袋装月饼重量的均值在500.4与507.1之间，这个估计的可信程度为95%。若以此区间内任一值作为的近似值，其误差不大于（克），这个误差估计的可信程度为95%。61.621315.2162022.6由已知的数据算得92的无偏估计量为S*2，222(1)*~(1)nSn(只介绍未知的情况)2222122(1)(1)1nSPnn222221221(1)(1)nSnSPnn当1-给定后,因为即得到方差2的一个置信度为1-的置信区间:2222122,(1)(1)nSnSnn(2)方差2的置信区间2212211,(1)(1)nSnSnn标准差的一个置信度为1-的置信区间/2/221/2(1)n2/2(1)n10例2有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量（以克计）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496,设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差的置信度为0.95的置信区间。解：现在查表得又S*=6.2022，151,975.021,025.02n220.9750.025(15)27.488,(15)6.262(4.58,9.60)得所求的标准差的置信区间为221221*1*,(1)(1)nSnSnn由(4)式112.4.3两个正态总体参数的区间估计[例2.27]有A、B两种牌号的灯泡各一批，A、B种灯泡的寿命是独立的且分别服从.希望通过抽样试验并进行区间估计，),(~211NX),(~222NY考察：(ⅰ)两种灯泡的寿命是否有明显差异；(ⅱ)两种灯泡的质量稳定性是否有明显差异.在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变,我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。121．两个总体均值差12的置信区间212212(a)和已知,求的置信区间)1,0(~)(22212121NYXnn),(~),,(~22212121nnNYNX),(~22212121nnNYXYX,相互独立121由此可得的一个置信水平为的置信区间为：22121212XYznn设总体X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的样本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的样本.这两个样本相互独立，,,YX2221,SS分别为第一、二个总体的样本均值与方差.13121222221122121212()()~(2)(2):XYMtnnnSnSnnnnMnn其中(b),但为未知.222212从而可得的一个置信度为的置信区间为2111212221122(2)StnnXYnnSM由定理1.15,时，2221214[例2.28]在例2.27中,随机选取A种灯泡5只,B种灯泡7只,做灯泡寿命实验,算得两种牌号的平均寿命分别为1000和980小时,样本方差分别为784和1024小时2.取置信度0.99,希望进行区间估计.考察：(ⅰ)两种灯泡的寿命是否有明显差异；(ⅱ)两种灯泡的质量稳定性是否有明显差异.15仅讨论总体均值1,2为未知的情况。2221/(2)两个总体方差比的置信区间由于22121112222122(1)/~(1,1)(1)/nnSFnnnnS221211/2121/212222122(1)/(1,1)(1,1)1(1)/nnSPFnnFnnnnS2221211121/2211/2212222122212(1)(1)(1,1)(1,1)1(1)(1)nnSnnSPFnnFnnnnSnnS于是得的一个置信度为的置信区间为2221/122*1*1/2211/22122*2*2(1,1),(1,1)SSFnnFnnSS16例研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差；抽取机器生产的管子13只，测得样本方差。设两样本相互独立，且设由机器A、机器B生产的管子的内径分别服从正态分布，这里均未知。试求方差比的置信度为0.90的置信区间。22*10.34()smm22*20.29()smm),(),,(222211NN)2,1(,2iii2221/21*1218,0.34,13nsn22*0.29,0.10s)12,17()12,17()1,1(95.005.0212/FFnnF38.21)17,12(105.0F即（0.45,2.79）由于的置信区间包含1，在实际中我们就认为两者没有显著差别。2221/2221,解现在17*单侧置信区间定义设总体的分布函数为，其中是未知参数，为总体的样本，给定，如果存在统计量满足：，则称随机区间是的置信水平为的单侧置信区间，称为单侧置信下限，称为置信水平或置信度。X(;)Fx12,,,nXXXX(01)12(,,)nXXX{}1P,11如果存在统计量，满足则称随机区间是的置信水平为的单侧置信区间，称为单侧置信上限。12(,,,)nXXX{}1P,118例从某批灯泡中随机地取5只作寿命试验．测得其寿命（单位：h）如下：10501100112012501280设灯泡的寿命服从正态分布，试求均值的置信度为0.95的单侧置信区间(θ1,+∞)．解设灯泡寿命为，由于．由=0.95查表得，使得，即，),(~2NX)1(~/ntnSXt1)1(nt1)1(/ntnSXP1)1(ntnSXP19本题中，)4()1(,75.99,1160,05.0,95.01,505.0tntsxn=2.1318,因此的置信度为0.95的单侧置信区间为亦即的0.95置信下限为1065．,),1065(,1318.2478.991160),1(ntnsx于是得的置信度为的单侧置信区间为亦即的置信下限为.),1(ntnSX1)1(ntnSX1.20记，置信水平为，则[例2.29]大样本场合下非正态总体均值μ的区间估计由中心极限定理知，只要n充分大，近似地有：)1,0(~)()(NXEXnXVar1)(),(2XVarXE当已知时，的置信区间为nzXnzX22,当未知时，的置信区间为