量纲练习

Hq1、试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。已知q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关。解：题目要求用瑞利法求解，首先写出待定函数关系式为),,(gHfq将上式写成指数乘积形式为cbagkHq写成量纲方程为cbaLTMLLTL)()()(2313列方程：M：b=0，L：a-3b+c=3，T：-2c=-1求解得a=5/2，b=0，c=1/2代入指数乘积函数关系式得2125gkHq2、求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率N与单位体积水的重量g（比重）、流量Q（13TL）、扬程H有关。注：吸水扬程是指水泵入口允许的吸入高度（米），出水扬程是出口的水能打到的最高高度。解：按瑞利法解本题，首先写出待定函数形式为),,(HQfN将上式写成指数乘积形式为cbacbaHQgkNHQkN)(写成量纲方程为cbaLTLTMLTML)()(132222列方程：M：a=1，L：-2a+3b+c=2，T：-2a-b=-2求解得a=1，b=0，c=4代入指数乘积函数关系式得4HkN3、文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图所示，已知1-1断面和2-2断面之间的压强差△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度η以及大小直径D1，D2变化。试用π定律求出的压强降落△p表示的流量公式。解：所求解问题的原隐函数关系式为0)D,D,,Q,p,(21f有量纲的物理量个数n=6，此问题的基本量纲有M、L、T三个，m=3，按π定理，这n个变量转换成有n-m=3个无量纲的函数关系式0),,(321F从6个物理量中选取3个量，检验所取的3个量是否为独立的量，如下：1-3dimTLQ3-dimML1-1-dimTML为使、、Q互相独立、列出行列式011-1-103-11-30，所以这3个量是独立的量。所以，得到3个互相独立的无量纲量1111pQ22212QD33323QD将上述表达式写成量纲形式0001-1-11-31-132-1-1TLM)T(ML)(ML)T(LTML（1）0002-1-12-32-132TLM)T(ML)(ML)T(LL（2）0003-1-13-33-133TLM)T(ML)(ML)T(LL（3）求解方程（1）得01-1--2:T0,1-13-13-1:L0,111:M解得：-41,312,1，所以4-321pQ求解方程（2）得02-2-:T0,2-23-231:L0,22:M解得：12,-12,-12，所以1-1-12DQ求解方程（3）得03-3-:T,03-33-331:L,033:M解得：13,1-3,1-3，所以1-1-23DQ因此，所解问题用无量纲数表示的方程为0)Q,QD,pQ(1--121--11432DF所以有：),(1211432QDQDFQp4、试用瑞利法和π定理（布金汉定理）推导圆柱绕流的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布金汉π定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流阻力FD与圆柱的直径为D、流体的流速为V、流体的密度为和流体的动力粘滞系数为有关。解：设流体的密度为，流体的动力粘滞系数为。(1)、瑞利法：首先写出待定函数形式为),,,(VDfFD将上式写成指数乘积的形式为dcbaDVkDF写成量纲的形式为dcbaTMLMLLTLMLT)()()(11312列方程：M：c+d=1，L：a+b-3c-d=1，T：-b-d=-2此时dcdbda122，因为指数a、b、c随着d的值改变而改变，所以指数乘积函数关系式dcbaDVkDF也随之改变。(2)、π定理：所求解问题的原隐函数关系式为0),,,,(VDFD有量纲的物理量个数n=5，此问题的基本量纲有M、L、T三个，m=3，按π定理，这n个变量转换成有n-m=2个无量纲的函数关系式0),(21从6个物理量中选取3个量，检验所取的3个量是否为独立的量，如下：LDdim1dimLTV3dimML为使,,VD互相独立、列出行列式0103-11-10010，所以这3个量是独立的量。所以，得到3个互相独立的无量纲量1111VDFD2222VD将上述表达式写成量纲形式0001311121)()(TLMMLLTLMLT(1)00013111112)()(TLMMLLTLTML(2)求解方程(1)得012:T,013111:L,011:M解得：11,21,21，所以1221VDFD求解方程(2)得021:T,023221:L,021:M解得：12,12,12，所以1112VD因此，所解问题用无量纲数表示的方程为0),(111122VDVDFD所以有：)(122DVVDFD评价：由于基本量纲只有3个，所以瑞利法只适用于解决涉及的物理量较少的流动问题，即涉及的物理量不能超过3个，否则的话就不能得到确切的关系式，而π定理则不同，即使涉及的物理量超过3个，也能得到确切的关系式。