复合函数--总结-复习

1课次教学计划（教案）课题复合函数教学目标掌握复合函数的复合过程，定义域，值域，单调性与奇偶性的求法一、复合函数的构成设()ugx是A到B的函数，()yfu是'B到'C上的函数，且B'B，当u取遍B中的元素时，y取遍C，那么(())yfgx就是A到C上的函数。此函数称为由外函数()yfx和内函数()ugx复合而成的复合函数。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())yfgx中x的取值范围。⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为()gx的值域。⑶))((xgf与))((xfg表示不同的复合函数。例1．设函数53)(,32)(xxgxxf，求))(()),((xfgxgf．⑷若)(xf的定义域为'M，则复合函数))((xgf中，Mxg)(．注意：)(xg的值域'MM．解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。（1）y=√2-x2(2)y=sin3x(3)y=3cos√1-x2解：(１)y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。（3）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1-x2复合而成的。2例2：复合函数的定义域问题⑴若函数)(xf的定义域是[0，1]，求)21(xf的定义域；⑵若)12(xf的定义域是[-1，1]，求函数)(xf的定义域；⑶已知)3(xf定义域是5,4，求)32(xf定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴函数)21(xf是由A到B上的函数xu21与B到C上的函数)(ufy复合而成的函数．函数)(xf的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数xu21的值域为[0，1]．∴1210x，∴021x，即210x，∴函数)21(xf的定义域[0，21]．⑵函数)12(xf是由A到B上的函数12xu与B到C上的函数)(ufy复合而成的函数．)12(xf的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-11x，∴1123x,即12xu的值域是[-3，1]，∴)(xfy的定义域是[-3，1]．要点2：若已知)(xf的定义域为A，则)]([xgf的定义域就是不等式Axg)(的x的集合；若已知)]([xgf的定义域为A，则)(xf的定义域就是函数)(xg)(Ax的值域。3⑶函数)3(xf是由A到B上的函数3xu与B到C上的函数)(ufy复合而成的函数．)3(xf的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即54x，∴831x即3xu的值域B=[-1，8）又)32(xf是由'A到'B上的函数32'xu与B到C上的函数)(ufy复合而成的函数，而'BB,从而32'xu的值域)8,1['B∴8321x∴,1122x∴2111x∴)32(xf的定义域是[1，211）．练习：1，已知f(x)的定义域为[0，1],求f(2x-1)的定义域。2，已知f(2x-1)的定义域为[0，1],求f(x)的定义域。3，已知f(x+3)的定义域为[１，２],求f（2x-5）的定义域。说明：①已知)(xf的定义域为(a,b)，求))((xgf的定义域的方法：已知)(xf的定义域为)(ba，，求))((xgf的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即)(bau，，)()(baxg，。通过解不等式bxga)(求得x的范围，即为))((xgf的定义域。②已知))((xgf的定义域为(a,b)，求)(xf的定义域的方法：若已知))((xgf的定义域为)(ba，，求)(xf的定义域。实际上是已知复合函数))((xgf直接变量x的取值范围，即)(bax，。先利用bxa求得)(xg的4范围，则)(xg的范围即是)(xf的定义域,即使函数)(xf的解析式形式所要求定义域真包含)(xg的值域，也应以)(xg的值域做为所求)(xf的定义域，因为要确保所求外含数)(xf与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数)(xf将失去解决问题的有效性。2．求有关复合函数的解析式，例6．①已知,1)(2xxf求)1(xf；②已知1)1()1(2xxf，求)(xf．例7．①已知xxxf1)1(，求)(xf；②已知221)1(xxxxf，求)1(xf．要点3：已知)(xf求复合函数)]([xgf的解析式，直接把)(xf中的x换成)(xg即可。已知)]([xgf求)(xf的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在)]([xgf中把关于变量x的表达式先凑成)(xg整体的表达式，再直接把)(xg换成x而得)(xf。换元法就是先设txg)(，从中解出x（即用t表示x），再把x（关于t的式子）直接代入)]([xgf中消去x得到)(tf，最后把)(tf中的t直接换成x即得)(xf，这种代换遵循了同一函数的原则。例8．①已知)(xf是一次函数，满足172)1(2)1(3xxfxf，求)(xf；5②已知xxfxf4)1(2)(3，求)(xf．要点4：⑴当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。⑵若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知)(xf满足某个等式，这个等式除)(xf是未知量外，还出现其他未知量，如)(xf、)1(xf等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出)(xf。解析式的求法练习1.代入法例1、()21fxx，求(1)fx2.待定系数法例2、二次函数()fx满足(3)(1)fxfx，且()0fx的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求()fx解析式3.换元法例3、2134(31)xxfx，求()fx解析式4.配凑法（用于二次函数较多）例4、2(31)965fxxx，求()fx解析式5.消元法（构造方程组法，赋值法）例5、2()()1fxfxx，求()fx解析式66.利用函数的性质求解析式例6、已知函数()yfx是定义在区间33,22[]上的偶函数，且32[0,]x时，25()xfxx(1)求()fx解析式(2)若矩形ABCD顶点,AB在函数()yfx图像上，顶点,CD在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值例7、已知函数()yfx是定义在R上的周期函数，周期5T，函数()yfx(11)x是奇函数，又知()yfx在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取得最小值，最小值为-5（1）证明：(1)(4)0ff（2）试求()yfx，[1,4]x的解析式（3）试求()yfx在[4,9]x上的解析式复合函数的值域换元法：（1）求函数41yxx；的值域分式法求21xxy的值域。例1、（指、对数函数作内层函数）己在函数2()1233xxfx（1）求函数()fx的值域（2）若[2,1]x时，函数()fx的最小值为和最大值7例2、（耐克函数）求函数2()(0),[1,2]xxafxaxx的值域【变式训练】求函数22()2afxxx的值域例3、（其它函数复合）求函数y2212124()2xxxxx的值域二、复合函数的性质1、复合函数)(xgfy在区间ba,上的单调性：（同增异减）)(xgu,)(ufy增减性相同时,)(xgfy为增函数,)(xgu,)(ufy增减性相反时,)(xgfy为减函数.求复合函数单调区间的步骤是：(1)求函数的定义域；(2)用换元法把复合函数分解成常见函数；(3)求各常见函数的单调区间；(4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间；(5)按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间．例8、求下列函数的单调区间：y=(x2－4x+3)2例9、求复合函数213log(2)yxx的单调区间例10、求y=2x6x7的单调区间和最值。8例11、求y=12xx221的单调区间。例12、求y=1/（x2－4x+3）的单调区间。2、复合函数)(xgfy的奇偶性若函数)(),(),(xgfxgxf的定义域都是关于原点对称的,那么由)(),(ufyxgu的奇偶性得到)(xgfy的奇偶性的规律是:函数奇偶性)(xgu奇函数奇函数偶函数偶函数)(ufy奇函数偶函数奇函数偶函数)(xgfy奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当)(xgu和)(ufy都是奇函数时,复合函数)(xgfy是奇函数.（与奇数偶数的乘法类似）若f（x）=x3,g(x)=x2+1判断以下函数奇偶性：A.f(x）*g（x)B.f(g(x))C.g(f(x))课后作业：1、若函数(1)fx定义域为(3,4]，则函数()fx的定义域为2、已知函数3231()3xfxaxax定义域为R，则实数a的取值范围是3、已知2211()fxxxx，则(1)fx=94、已知2(1)34fxxx，则()fx=5、已知函数()fx的图像与函数1()2hxxx的图像关于点A(0,1)对称（1）求函数()fx的解析式（2）若()()agxfxx，且()gx在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围6、设()fx是定义在R上的函数，且()fx满足(2)()fxfx，当[0,2]x时，2()2fxxx，求[2,0]x时()fx的解析式7、21()mxmxfx的定义域为R,则求m的取值范围8、已知函数211()log1xfxxx,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。9、求函数)5,0[,)31(42xyxx的值域。10、求函数11()()142xxy在3,2x上的值域。总结：１．复合函数的构成；设函数)(ufy，)(xgu，则我们称))((xgfy是由外函数)(ufy和内函数)(xgu复合而成的复合函数。其中x被称为直接变量，u被称为中间变量。复合函数中直接变量x的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u的取值范围，即是)(xg的值域，是外函数)(ufy的定义域。２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法：⑴定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由bxga)(解x）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由bxa求)(xg的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。10特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域。⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法．四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有：⑴当)(xf为整式或奇次根式时，xR；⑵当)(xf为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当)(xf为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当)(xf为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如0)(xxf，221)(xxxf中0x）。⑸当)(xf是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量x的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数)(xfy的定义域是各段上自变量x的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。