考研数学高等数学强化习题-极限(应用)

模块二极限（应用）Ⅰ经典习题一．连续、间断点以及间断点的分类1、设，在连续，则2、“在点连续”是在点处连续的（）条件(A)必要非充分(B)充分非必要(C)充要(D)既非充分又非必要3、设函数在区间上连续，则是函数的()(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)无穷间断点(D)振荡间断点4、函数在上的第一类间断点是5、函数的间断点的个数为（）(A)1(B)2(C)3(D)46、设函数则()（A）都是的第一类间断点.(B)都是的第二类间断点.(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.(D)是的第二类间断点，是的第一类间断点.7、求函数的间断点，并指出类型。8、求函数所有间断点及其类型二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查9、则在处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续但不可导(D)可导10、在可导且为奇函数，则11、设函数在内有定义且，则在处（）（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导且（D）可导但12、设连续，，且，求并讨论在处的连续性13、设在的邻域内有定义，，且，则在处()（A）可导，且（B）可导，且（C）可导，且（D）不可导14、设可导，则当时，是的（）（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小15、设函数对任意均满足,且,其中为非零常数,则（）(A)在处不可导（B）在处可导,且（C）在处可导,且（D）在处可导,且2．导数的定义与极限的计算16、设一阶可导，且，则、设二阶连续可导，且则18、在处可导，且，则19、设函数在点处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）20、设,则21、设可导,则22、设在处连续，且，则曲线在点的切线方程为23、已知函数在处可导，，求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．函数可导的充要条件24、判断下列命题是否与函数在点处可导等价（1）极限存在（2）极限存在（3）极限存在（4）极限存在（5）极限存在（6）极限存在（7）极限存在（8）极限存在三．渐近线25、曲线的渐近线有（）(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条26、曲线渐近线的条数为（）(A)0(B)1(C)2(D)327、求下列曲线所有的渐近线。（1）（2）（3）四．多元函数微分学的概念28、讨论下列二重极限是否存在，如果存在求出极限值（1）（2）（3）（4）（5）（6）29、讨论下列函数在点处是否连续，偏导数是否存在，是否可微。（1）（2）（3）（4）30、连续函数满足，则________。Ⅱ参考答案一．连续、间断点以及间断点的分类1、【答案】：.【解析】：在连续由于，，即.2、【答案】：(B)【解析】：在连续在连续（）但在连续推不出在连续，如，在连续，但在间断3、【答案】：(A)【解析】：在中，令当时，当时，因此，于是，按照间断点的分类，所以是的可去间断点4、【答案】：.【解析】：显然在区间内没有意义的点有：，且，，根据间断点的定义知为跳跃间断点即为第一类间断点5、【答案】：(B)【解析】：易得的表达式：，由表达式得到的间断点为6、【答案】：(D)【解析】：因为，所以是的第二类间断点，再由，所以是的第一类间断点7、【解析】：显然为的间断点，其余点处都连续。，为可去间断点所以为跳跃间断点。8、【解析】：有间断点.又.因为，所以为跳跃间断点.又，所以为可去间断点，且，所以为无穷间断点二．可导与可微1．对导数定义式的直接考查、【答案】：(C)【解析】：，所以在处不可导，又由存在可得在右连续和左连续，既在连续10、【答案】：【解析】：因在处可导，所以在处连续，又是奇函数，所以，11、【答案】：（C）【解析】：显然，且所以在处连续，又由得，根据夹逼定理：，即12、【解析】：当时，做变量代换得当时，。由于连续，且，可知。故则当时，；2(0)g()gx0x()gx0x()gx(0)0g222001()0()(0)(0)limlimxxxexgxfxfxfxx222220001()(0)1()(0)limlim[1]lim2(0)xxxxxexgxgegxggxxxx0xuxt0()()xfuduxx0x10(0)(0)(0)fdtf()fx0()limxfxAx(0)0f0(),0()0,0xfuduxxxx0x'02()()()xxfxfuduxx当时，。故下面再讨论在处的连续性：由于可知在处连续13、【答案】：（B）【解析】：而所以14、【答案】：（A）【解析】：因为可导，所以可微分，即，所以是的高阶无穷小.15、【答案】：（D）【解析】：.,所以（注:因为没有假设可导,不能对于二边求导）.2．导数的定义与极限的计算16、【答案】：2【解析】：0x'02000()()(0)()(0)limlimlim22xxxxfuduxfxAxxx02'()(),0(),02xxfxfuduxxxAx'()x0x''00220000()()()()lim()limlimlim(0)22xxxxxxxfxfudufudufxAAxAxxx'()x0x222000(1)1(1)1(1)1limlimlimln()ln[1(()1)]()1xxxxxxfefefefxfxfx2220(1)(0)11lim2()(0)1xxxxfefefxfexx、【答案】：【解析】：由于是18、【答案】：【解析】：设，原式可化为：而于是所求极限为19、【答案】：（A）【解析】：因为故20、【答案】：【解析】：,所以所以21、【答案】：【解析】：解.=+=22、【答案】：【解析】：由极限的运算法则和相关公式易得2e0()lim1,(0)0,(0)1xfxffx()()22001limlimfxxfxxxxxeeeexx2000()()1()limlimlim222xxxfxxfxfxexx()()fafae()0fa1lim[ln()ln()]1()lim[]()xxfafaxxxfaxefa101ln()ln()ln()ln()()()limlim[ln()]1()()xaxaxtxfafafatfafxfaxfxtfxfax()()fafae31k)('31)()(lim0000xfxkxfxkxfkx)('31)('00xfxkf31k)(')(0xfnmxxnxfxfxfxmxfx)()()()(lim00000xmxfxmxfmx)()(lim000xnxfxnxfnx)()(lim000)(')(0xfnm。从而，由于在处连续，所以。由得在点的切线方程为23、【解析】：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．函数可导的充要条件24、【解析】：（1）等价，（2）不等价，（3）等价，（4）不等价，（5）不等价，（6）不等价，（7）等价，（8）等价。三．渐近线25、【答案】：(D)【解析】：水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线.26、【答案】：(C)【解析】：垂直渐近线，斜渐近线.27、【解析】：（1）水平渐近线，斜渐近线；（2）垂直渐近线，斜渐近线；（3）垂直渐近线，斜渐近线。四．多元函数微分学的概念28、【解析】：（1），由夹逼定理可得。（2）由于无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，所以。（3）由重要极限可得。()fx0x()fx(0,(0))f（4）取特殊路径可知极限不存在。（5），由夹逼定理可得。（6）取特殊路径和可得极限不存在。29、【解析】：（1）连续，偏导数存在（），但不可微。（2）连续，偏导数存在（），但不可微。（3）连续，存在，存在，不可微。（4）连续，偏导数存在（），也可微。29、【解析】：从极限式中凑出全微分的定义可知