常微分方程在数学建模中的应用(毕业论文)

常微分方程在数学建模中的应用专业名称：数学与应用数学（师范）作者姓名：指导教师：教授论文答辩小组组长：成员：论文成绩：目录摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１ABSTRACT．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１目录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２１常微分方程与数学建模．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１.１前言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１.２常微分方程的发展和数学建模．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１.３常微分方程在数学建模中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３２数学模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４２.１动力学模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４２.２流体混合数学模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７２.３新产品推广模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８２.４化工车间的通风问题模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．９２.５碳定年代法问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１0３结束语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２４参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１３常微分方程在数学建模中的应用作者陈瑶妹指导老师周效良教授湛江师范学院数学与计算科学学院，湛江524048摘要：本文对常微分方程在数学建模中的应用进行研究。介绍常微分方程的发展、数学建模的特点；重点介绍了常微分方程与数学建模相互结合，在不同的领域中的相关的具体例子。如动力学模型，流体混合数学模型，新产品推广模型，碳定年代法问题和化工车间的通风问题模型，总结常微分方程在数学建模中的重要性。关键词：常微分方程；数学建模TheApplicationofOrdinaryDifferentialEquationsinMathematicsModelingAuthorChenYaomeiGuidanceteacherProfessorZhouXiaoliangMathematicsandComputationalScienceSchool,ZhanjiangNormalUniversity,Zhanjiang524048Abstract:Inthispaper,theapplicationofordinarydifferentialequationsinmathematicsmodelingwasstudied.Whatismore,IdescribethedevelopmentofordinarydifferentialequationsandMathematicalmodelingfeatures.Ifocuseonthemathematicalmodelinginconjunctionwitheachotherordinarydifferentialequations.Specificexamplesindifferentfieldswasintroducted.Forexamplekineticmodel，fluidmixingmathematicalmodel，fentilationproblemsmodelnewproductpromotionmodel,carbondating'slawissuesandchemicalplant，TheimportanceofordinarydifferentialequationsinMathematicsModelingwassummarized.Keyword:Ordinarydifferentialequations;MathematicalModeling目录摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１ABSTRACT．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１目录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２１常微分方程与数学建模．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１.１前言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１.２常微分方程的发展和数学建模．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１.３常微分方程在数学建模中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３２数学模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４２.１动力学模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４２.２流体混合数学模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７２.３新产品推广模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８２.４化工车间的通风问题模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．９２.５碳定年代法问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０３结束语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２４参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.１３１常微分方程与数学建模１.１引言数学建模(MathmaticalModeling)是用数学方法解决各种实际问题的桥梁。随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展,数学的应用日益广泛,数学建模的作用也越来越重要，按照建模所应用的数学方法不同,数学建模可为:初等模型,运筹学模型,微分方程模型,概率统计模型,控制论模型等。在数学建模中,数学模型的建立尤为重要,只有建立了模型,才能进行其他的工作。微分方程作为数学科学的中心学科,已经有300多年的发展历史,其解法和理论已日臻完善,可以为分析和求得方程的解(或数值解)提供足够的方法,使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵,微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段。对于现实世界的变化,人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律,其规律一般可以用微分方程或方程组来表示。１.２常微分方程的发展和数学建模常微分方程诞生于运用数学分析方法解决物理与力学问题的过程中,它的发生发展史就是一部数学建模史。人们通常认为常微分方程的开端工作是由意大利科学家伽利略(Galileo,1564～1642)完成的。17世纪欧洲的建筑师们在建筑教堂和房屋时,需要考虑垂直梁与水平梁在外力作用下的变形,以及当外力撤销时梁的恢复程度,也就是梁的弹性问题。当时的建筑师用经验来处理这些问题。伽利略从数学角度对梁的性态进行了研究,将成果记录在《关于两门新科学的对话》一书中,这些研究成果成为常微分方程的开端。许多类型微分方程的发现都遵循着这样一个过程:（1）在工程或自然科学研究中发现问题,提出问题;（2）对实际问题进行分析,提炼出数学模型,建立目标函数的关系式(含有未知函数导数的关系式就是微分方程),提出相应的定解条件;（3）求这个方程的解析解或数值解,或对方程解的性态进行分析;（4）用所得的结果来解释实际现象,或对问题的发展变化趋势进行预测。这个过程就是数学建模过程。数学建模即是对实际问题中的复杂现象进行分析，发现其中可以用数学语言来描述的关系或规律，从中抽象出恰当的数学关系，将这个实际问题化成一个数学问题，并运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题作出解释的过程。１．３常微分方程在数学建模中的应用微分方程的理论和解法都是应用数学的重要分支，这是因为它在工程，经济及科学的众多领域都有非常重要的应用。而微分方程之所以能解决实际问题，根本原因是由于方程中的未知函数是工程，经济及科学中要探寻的函数关系。这样，如何对实际问题建立其微分方程就成了重要的，而且是和解方程截然不同的问题，这就是微分方程的建模题。这些问题常常是困难的，因为它不仅需要熟知导数、微分在相应问题中的含义，即其几何的、物理的、经济的含义等，还需要一定的专业技术知识，这样才能对实际问题进行正确的抽象和简化，找到其未知量所满足的微分关系式，也就是建立起实际问题是微分方程模型。但这些问题也并非难到“无章可循”，事实上应该用微分方程解决实际问题，常常有一定的模式，这些模式就是问题所遵循的有共性的规律，或者分析实际问题时所采用的共同方法。微分方程在数学建模中的应用大体是：首先建立数学模型，要求根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；然后按照规律列出微分方程，求出方程的解；最后将结果翻译回实际对象，对问题进行描述、分析、预测和控制。数学建模思想是常微分方程发展史所反映出的最重要的数学思想,这一点从以下几例可见一斑。２数学模型２．１动力学模型动力学是微分方程最早期的源泉之一，动力学的基本定律是牛顿律是牛顿第二定律fma，这就是用微分方程来解决动力问题。例1．设跳伞运动员质量为m，降落伞所受空气阻力与速度成正比。求降落伞下降速度VVt的变化规律解：设空气阻力系数为K。又设在时刻t物体的下落速度为V，于是在时刻t，物体所受的力为fmgkv，从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程dvmmgkvdt分离变量得dvdtmgkvm积分得11lntmgkvckm即1ktmmgkvekc解出v得ktmmgvcek当t时，有limxmgvtk1据测定，ks其中为与物体形状有关的常数；为介质密度；s为物体在地面上的投影面积。人们正是根据公式1来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的。落地速度1v、m、与一定时，可求出s来。只要跳伞者在空中有足够长的停留时间，他到达地面时的速度近似地等于常速mgk，而且不会超过mgk，所以跳伞者才能安全降落地面，而自由落体则是按照加速度g落到地面的。例2．设一火箭重25000kg，携带燃料20000kg，每秒消耗燃料1000kg，喷出燃气相对于火箭的速度是400m/s，设火箭由地面铅直上升，初速度为零，仅受重力作用，不考虑空气阻力。试求（1）火箭在15s时刻的速度；（2）燃料消耗一半时，火箭到达的高度。解由于火箭在运行过程中质量m不断改变，所以牛顿第二运动定律的形式F=ma不能采用，而要用到其动量形式，即作用于物体上的合力=动量对时间的变化率也就是dmvdvdmFmvdtdtdt(2)设火箭t时刻的质量为m(t)，以地球为参照系火箭的速度为v(t)，下面我们用微分元素法的思想来导出表示火箭运动规律的微分方程。为此，从t时刻开始，给时间以增量t，则在tt时刻火箭质量为0MMM，速度为vv，