【高一数学】三角函数典型例题剖析与规律总结(共5页)

三角函数典型例题剖析与规律总结山东田振民一：函数的定义域问题1.求函数1sin2xy的定义域。分析：要求1sin2y的定义域，只需求满足01sin2x的x集合，即只需求出满足21sinx的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上k2Zk即可。解：由题意知需01sin2x，也即需21sinx①在一周期23,2上符合①的角为67,6,由此可得到函数的定义域为672,62kkZk小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如1,0logaaxfya的函数，则其定义域由xf确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域例。求下列函数的值域（1）xy2sin23（2）2sin2cos2xyx分析：利用1cosx与1sinx进行求解。解：（1）12sin1x5,151yy（2）.0,4,1sin11sin1sin2sin2sin2222cosyxxxxxxy评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）xysin211（2）6662sin2xxy（3）4sin5cos22xxy（4）32,31cos4cos32xxxy分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数cbxaxxf2)(在闭区间nm,上求最值得方法。解：(1)221sin;261sin1sin11sin10sin211minmaxyxyxxxx时当时，当(2).11)32cos(5132cos,1)32cos(1minmaxyxyxx时，；当时，当(3)222592cos5sin42sin5sin22sin,sin1,1,48yxxxxxx当sin1x，即2(2xkkZ）时，y有最小值9；当sin1x，即2(2xkkZ），y有最大值1。(4)413,21cos415y32,21cos,21,21cos,32,3,31)32(cos31cos4cos3minmax22yxxxxxxxxxy时，即当时，、即从而小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；（1）sinx一次形式（2）sin()xfy或cos()xfy的形式，通过()1fy来确定或其他变形来确定。三：函数的周期性例求下列函数的周期xxf2cos)(1)62sin(2)(2xxf分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。（1）把x2看成是一个新的变量u，那么ucos的最小正周期是2，就是说，当2uu增加到且必须增加到2u时，函数ucos的值重复出现，而),(2222xxu所以当自变量x增加到x且必须增加到x时，函数值重复出现，因此，xy2sin的周期是。（2）62sin2)262sin(2xx即)62sin(2)()62sin(26421sin2xxfxx的周期是4。小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数)sin(xAy或)cos(xAy（其中,,A为常数，),0,0RxA的周期2T。四．函数的奇偶性例判断下列函数的奇偶性xxxxfxxxfsin1cossin1)()2)(sin()()1(2分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域R关于原点对称。是偶函数。)()(sin)sin()()(,sin)sin()(xfxfxxxxxfxxxxxf（2函数应满足.,2320sin1ZkkxRxxx，且函数的定义于为函数的定义域不关于原点对称。函数既不是奇函数又不是偶函数。评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(xf是否等于)(xf或)(xf，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。五：函数的单调性例：下列函数，在,2上是增函数的是（）xyAsin.xyBcosxyC2sinxyD2cos分析：判断。在各象限的单调性作出与可根据xxxxcossin.22,2解：sinyx与cosyx在2，上都是减函数，排除,AB，2x，22,x知sin2yx在2,2x内不具有单调性，又可排除C，应选D。小结：求形如)0,0)(cos()sin(AxAyxAy其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos),(sin)0(02)0()1(RxxyRxxyAAx练习：1.函数xysin1的定义域为（）0.1,00,1.,..xxDCZkkxRxBRA2.函数)6cos(xy，2,0x的值域是()1,211,2323,2121,23.DCBA3.函数)0)(4sin(xy的周期为32，则=------------.4.下列函数中是偶函数的是（）1sinsinsin2sin.xyDxyCxyBxyA5.下列函数中，奇函数的个数为（）（1）xxysin2（2）2,0,sinxxy（3）,,sinxxy（4）xxycos432.1.DCBA6.在区间2,0上，下列函数为增函数的是（）xyDxyCxyBxyAcossincos1sin1.7.函数xy2sin的单调减区间是（）ZkkkDkkCkkBkkA4,423,243,4223,228.如果4x，则函数xxysincos2的最小值是——————9.函数)2434(tanxxxy且的值域为（）,11,,11,1,1DCBA答案：BB3CCDB221B2．3函数的单调性学法导引1．熟练掌握增减性的概念．要注意定义中对区间内，的任意性，而不是某两个特殊值，．2．掌握好证明函数单调性的方法(用定义)：取值——作差——定号——判断．3．熟悉几种基本函数的单调性．4．掌握好利用函数的单调性来比较数的大小的方法．知识要点精讲1．增函数、减函数、单调性、单调区间的概念(1)函数的单调性是函数在定义域内某一区间内的局部性质，而不是整体性质．一是同属于一个单调区间，二是任意性，切不可用两个特殊值代替，三是规定了大小关系．要证明函数f(x)在区间[a，b]上是单调递增(递减)的，而要证f(x)在区间[a，b]上不是递增(递减)的，则只需举出反例即可．2．判断函数单调性的方法最基本的方法是依据函数单调性的定义来证明，其步骤如下：并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变化；第三步：定号，即确定差的符号，当符号不确定时，可进行分区间讨论；第四步：判断，即根据定义确定是增函数还是减函数．也可根据函数简单的运算性质和复合函数的性质来确定函数的单调性．3．函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用．具体表现在：(1)利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题，转化为比较自变量的大小问题，也是我们解不等式的依据．(2)确定函数的值域或求函数的最值．对于函数f(x)，如果它在区间[a，b]上是增函数，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在区间[a，b]上是减函数，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在区间[a，c]上是增(减)函数，在[c，b]上是减(增)函数，那么它的最大(小)值是f(c)．4．常用函数的单调性(1)一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，函数在R上为单调递增函数；当k＜0时，函数在R上为单调递减函数．思维整合【重点】本节重点是函数单调性的概念以及函数单调性的判定、函数单调性的应用．【难点】利用函数单调性的概念来证明或判断函数的单调性．【易错点】1．复合函数的单调性只注意复合关系，不注意范围；精典例题再现【解析重点】例求下列函数的单调区间．［解析］求函数单调区间有多种方法，可以利用定义法，可以利用基本的初等函数的单调性，也可以用图象的直观性．作出函数的图象，如图2－3－1所示：在(－∞，－1]和[0，1]上，函数f(x)是增函数，在[－1，0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．故其单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]；其单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．点拨对于(2)中求复合函数单调区间的问题，一般有以下结论：设y＝f(u)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]，若f(u)是[m，n]上的增函数，则f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同；如果f(u)是[m，n]上的减函数，则f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反，此种问题特别要注意考虑函数的定义域．