指数与指数函数知识点及题型归纳总结

指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质当a0，b0时，有(1)aman=am+n(m,nR)；(2)mmnnaaa(m,nR)(3)(am)n=amn(m,nR)；(4)(ab)m=ambm(mR)；(5)ppaa1(pQ)(6)mmnnaa(m,nN+)二、指数函数(1)一般地，形如y=ax(a0且a1)的函数叫做指数函数；(2)指数函数y=ax(a0且a1)的图像和性质如表2-6所示.y=axa10a1图象(1)定义域：R(1)定义域：R值域(2)值域：(0,+)(2)值域：(0,+)(3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1)(4)在R上是增函数.(4)在R上是减函数.(5)0y1x0y=1x=0y1x0(5)0y1x0y=1x=0y1x0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()fxab，()fxab，()fxab的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a2x+Bax+C=0或a2x+Bax+C0(0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a=2，b=4，()()aabbababb223333311的值；(2)若xx11223，xxxx33222232的值；(3)设nna11201420142(nN+)，求()naa21的值.分析：利用指数运算性质解题.解析：()()()()aabbabababababbbabbab2222333333332333111()()()()()abaabbababbabbab2233333333323331()()()()abababbbabbabb2233333332223333311.当a=2，b=4，原式333322121622.(2)先对所给条件作等价变形：()xxxx11122222327，()()xxxxxx33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故xxxx3322223183124723.(3)因为nna11201420142，所以()nna11222014201412，所以nnnnnaa111112220142014201420141201422.所以()naa2112014.变式1设2a=5b=m，且ab112，则m=().A.10B.10C.20D.100二、指数方程例2.49解下列方程(1)9x-43x+3=0；(2)()()xx29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()xx2938，对其底进行化简运算.解析：(1)9x-43x+3=0(3x)2-43x+3=0，令t=3x(t0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x131或x233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()xx29643827，可得()x33294383即()()x33443，所以()()x33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-63x-7=0的解是________.变式2关于x的方程()xaa32325有负实数根，则a的取值范围是__________.三、指数不等式例2.50若对x[1,2]，不等式xm22恒成立，求实数m的取值范围.分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y=2x是R上的增函数，又因为x[1,2]，不等式xm22恒成立，即对x[1,2]，不等式x+m1恒成立函数y=x+m在[1,2]上的最小值大于1，而y=x+m在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m，所以1+m1，即m0.所以实数m的取值范围是{m|m0}.变式1已知对任意xR，不等式()xmxmxx22241122恒成立，求m的取值范围.变式2函数()xfxx21的定义域为集合A，关于x的不等式axax222(xR)的解集为B，求使A∩B=A的实数a的取值范围.题型2指数函数的图像及性质思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.一、指数函数的图像例2.51函数()xbfxa的图象如图2-14所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是().A.a1，b0B.a1，b0C.0a1，0b1D.0a1，b0分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0a1，当x=0时，ba(0,1)，故-b0，得b0，故选D.评注：若本题中的函数变为()xfxab，则答案又应是什么？由图2-14可知(x)单调递减，即0a1，函数y=ax的图像向下平移得到xyab的图像，故0b1，故选C.变式1若函数y=ax+b-1(a0且a1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有().A.0a1且b0B.a1且b0C.0a1且b0D.a1且b0变式2(2012四川理5)函数xyaa1(a0，a1)的图象可能是().变式3已知实数a，b满足()()ab1123，下列5个关系式：①0ba，②ab0，③0ab，④ba0，⑤a=b=0.其中不可能．．．成立的有().A.1个B.2个C.3个D.4个例2.52函数(x)=xa1(a0且a1)的图像过定点_________.分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a0=1.解析：因为函数(x)=ax(a0且a1)的图像过定点(0,1)，又函数(x)=xa1(a0且a1)的图像是由函数(x)=ax(a0且a1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数(x)=xa1(a0且a1)的图像过定点(-1,1).变式1函数(x)=ax+1(a0且a1)的图像过定点________.变式2函数(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3(x)=xa1(a0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(m,n0)上，则mn11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53函数(x)=ax(a0且a1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值是_______.分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0a1时，函数(x)=ax在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a，最小值为a2，则aaa22，得aa22，又0a1，所以a12；当a1时，函数(x)=ax在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a2，最小值为a，那么aaa22，得aa232，又a1，所以a32.综上所述，a的值是12或32.评注：函数(x)=ax(a0且a1)，不论0a1还是a1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得.所以||aaa22，解得a12或a32.变式1函数(x)=ax(a0且a1)在区间[a,a+2]上的最大值是最小值的3倍，则a=_____.变式2定义区间[x1,x2](x1x2)的长度为x2-x1，已知函数y=2|x|的定义域为[a,b]，值域为[1,2]，则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3若y=3|x|(x([a,b])的值域为[1,9]，则a2+b2-2a的取值范围是().A.[2.4]B.[4,16]C.[2,23]D.[4,12]例2.54函数xxya248145(0a1)的单调增区间是________.分析：复合函数xxya248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u=-4x2-8x+1=-4(x+1)2+5在[-1,+)上单调递减，在(-,-1]上单调递增，且y=ax(0a1)是减函数，所以xxya248145(0a1)的单调增区间是[-1,+).变式1函数()xxfx2412的单调增区间是________.变式2求函数()()()xxfx11142(x[-3,2])的单调区间及值域.变式3已知0x2，求函数xxaya1224212的最大值和最小值.变式4设函数y=(x)在(-,+)内有定义，对于给定的正数k，定义函数(),(),kfxfxk()()fxkfxk，取函数(x)=2-|x|，当k12时，函数k(x)的单调增区间为().A.(-,0]B.[0,+)C.(-,-1]D.[1,+)变式5若函数||()xym112的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是________.变式6已知函数()||xfx21，xR，若方程(x)=a有两个不同实根，则a的取值范围是__________.题型3指数函数中的恒成立问题思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55设()xxfxa124(xR)，当x(-,-1]时，(x)的图象在x轴上方，求实数a的取值范围.分析：本题等价于当x1时，xxa1240恒成立.分离自变量x与参变量a，转化为求解函数的最值.解析：因为当x(-,1]时，(x)的图像在x轴上方，所以对于任意x1，xxa1240恒成立，即xxa214(x1)恒成立.令()()()xxxxux2111424(x1)，au(x)max，x(-,1].因为()xy12，()xy14均是减函数，所以u(x)在(-,1]上单调递增，故当x=1时，max()()uxu314，故a34.故实数a的取值范围为(34,+).变式1已知函数()()xxafxaaa21(a0且a1).(1)判断函数(x)的奇偶性；(2)讨论函数(x)的单调性；(3)当x[-1,1]时，(x)b恒成立，求实数b的取值范围.变式2定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数.（1）求a,b的值.（2）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围.变式3已知函数1()22xxfx，若2(2)()0tftmft对于[1,2]t恒成立，求实数m的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xyaaa是指数函数，则有（）Aa=1或a=2Ba=1Ca=2D0a且1a2.设0.90.481.512314,8,()2yyy，则（）A312yyyB213yyyC123yyyD132yyy3.设函数()fx定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x时，()31xfx，则有（）A132()()()323fffB231()()()323fffC213()()()332fffD321()()()233fff4.函数()22xxfx是（）A奇函数，在区间(0,)上单调递增B奇函数，在区间(0,)上单调递减C偶函数，在区间(,0)上单调递增D偶函数，在区间(,0)上单调递减.5.若关于x的方程9(4)340xxa有解，则实数a的取值范围是（）A(,8)[0,)B(,4)C[8,4)D(,8]