2015-2016学年四川省绵阳市高一(下)期末数学试卷(解析版)

第1页（共15页）2015-2016学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量是（）A．B．C．D．2．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（）A．an=3n﹣1B．an=2n﹣1C．an=3nD．an=2n﹣13．已知平面向量，满足•=1，且||=2，||=1，则，的夹角为（）A．B．C．D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．4πD．8π5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，以下四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m∥α，则m⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m∥nC．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，n⊥α，m⊥β，则m⊥n6．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与直线B1C所成角的余弦值为（）第2页（共15页）A．B．C．D．7．﹣化简的结果为（）A．﹣sin3°+cos3°B．﹣sin3°+3cos3°C．sin3°﹣cos3°D．﹣sin3°﹣3cos3°8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形9．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为（）A．mB．50mC．100mD．100m10．在△ABC中，∠C=90°，且||=2，||=3，点M满足=2，则•=（）A．1B．2C．3D．411．如图所示，AO⊥平面BOC，∠OAB=30°，△AOC与△AOB全等，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点P在线段AB上，则CP与平面AOB所成角的正切的最大值为（）A．1B．C．D．12．等差数列0，2，4，6，8，10，…按如下方法分组：（0），（2，4），（6，8，10），（12，14，16，18），…则第n组中n个数的和是（）A．B．n（n2﹣1）C．n3﹣1D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．计算：cos215°﹣sin215°=．14．等差数列{an}满足a3+a8=2，则该数列前10项和S10=．第3页（共15页）15．已知tan（α﹣β）=，tanβ=，则tan（α+）=．16．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，其中AB⊥AC，SA⊥AC，SA=2，AB=AC=，若顶点S到BC边中点的距离为，则球O的体积为．三、解答题：本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知锐角△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足a=2bsinA．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．18．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求tan2x的值；（2）设函数f（x）=（+）•，已知f（θ）=且0＜θ＜，求θ的值．19．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（I）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC．20．数列{an}中，a1=1，设Sn是{an}的前n项和，且满足Sn+1=2Sn+1．（1）证明数列{Sn+1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=，Tn为数列{bn}的前n项和，函数f（x）=﹣x2+2ax﹣a2+a﹣1，若Tn＞f（x）对所有的n∈N*和x∈R都成立，求实数a的范围．第4页（共15页）2015-2016学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量是（）A．B．C．D．【考点】相等向量与相反向量．【分析】用向量相等的定义：不但模相等且方向相同判断即可．【解答】解：如图示：与相等的向量是：，，，故选：C．2．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（）A．an=3n﹣1B．an=2n﹣1C．an=3nD．an=2n﹣1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别得出，即可得出{an}的通项公式．【解答】解：着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为：a1=1，a2=3，a3=3×3=32，a4=32×3，因此{an}的通项公式可以是：an=3n﹣1．故选：A．3．已知平面向量，满足•=1，且||=2，||=1，则，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用向量的数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：平面向量，满足•=1，且||=2，||=1，设，的夹角为θ，第5页（共15页）可得cosθ===，可得．故选：B．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．4πD．8π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体为底面半径直径为2，高为2的圆柱的一半，求出体积即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为2，高为2．体积V==π．故选：A．5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，以下四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m∥α，则m⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m∥nC．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，n⊥α，m⊥β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由题意和线面垂直的定义，对答案项逐一验证，即可找出答案．【解答】解：若α⊥β，m∥α，则m、β的位置关系不确定，故A不正确；若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n，故B不正确；若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故C不正确；在β内作直线a垂直于两个平面的交线l，则a⊥l，∵α⊥β，∴a⊥α，∵n⊥α，∴a∥n，∵m⊥β，a⊂β，∴m⊥a，∴m⊥n，正确．故选：D．6．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与直线B1C所成角的余弦值为（）第6页（共15页）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），B1（2，2，2）．=（0，1，2），=（2，0，2）．∴cos===．∴直线AE与直线B1C所成角的余弦值为．故选：A．7．﹣化简的结果为（）A．﹣sin3°+cos3°B．﹣sin3°+3cos3°C．sin3°﹣cos3°D．﹣sin3°﹣3cos3°【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简去根号，即可得解．【解答】解：﹣=﹣=sin3°+cos3°﹣2cos3°=sin3°﹣cos3°．故选：C．第7页（共15页）8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简可得acosA=bcosB，通过两角差的正弦函数，求出A与B的关系，得到三角形的形状．【解答】解：因为：=，可得：=，所以由正弦定理可得：，整理可得：acosA=bcosB，所以sinAcosA=sinBcosB，所以2A=2B或2A=π﹣2B，所以A=B或A+B=90°．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：D．9．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为（）A．mB．50mC．100mD．100m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得，解得h=（m）故选A．10．在△ABC中，∠C=90°，且||=2，||=3，点M满足=2，则•=（）A．1B．2C．3D．4【考点】平面向量数量积的运算．第8页（共15页）【分析】由题意可得=0，再利用两个向量的加减法的法则以及其几何意义求得•=+•，从而求得结果．【解答】解：△ABC中，∵∠C=90°，且||=2，||=3，点M满足=2，∴=0，则•=（+）•=（+•）•=[+•（﹣）]•=（+）•=+•=•32=0=3，故选：C．11．如图所示，AO⊥平面BOC，∠OAB=30°，△AOC与△AOB全等，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点P在线段AB上，则CP与平面AOB所成角的正切的最大值为（）A．1B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由CO⊥平面AOB，得∠CPO是CP与平面AOB所成的角，当OP最小时，tan∠CPO最大，由此能求出CP与平面AOB所成角的正切值的最大值．【解答】解：∵AO⊥平面BOC，∠OAB=30°，△AOC与△AOB全等，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴∠BOC=90°，则CO⊥平面AOB，连接CP，OP，则∠CPO是CP与平面AOB所成的角，设OB=OC=1，则AB=2，OA=，且tan∠CPO==，∴当OP最小时，tan∠CPO最大，即OP⊥AB，∴OP===，tan∠CPO====，即tan，第9页（共15页）∴CP与平面AOB所成角的正切值的最大值是．故选：D．12．等差数列0，2，4，6，8，10，…按如下方法分组：（0），（2，4），（6，8，10），（12，14，16，18），…则第n组中n个数的和是（）A．B．n（n2﹣1）C．n3﹣1D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知求出前n﹣1组含有非负偶数个数，进一步求出第n组的第一个数，再由等差数列的前n项和得答案．【解答】解：由已知可得，前n﹣1组含有非负偶数个数为1+2+3+…+（n﹣1）=（n≥2），则第n组的第一个数为：，∴第n组中n个数的和是．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．计算：cos215°﹣sin215°=．【考点】二倍角的余弦．【分析】由二倍角的余弦公式可得cos215°﹣sin215°=cos30°，从而得到结果．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°=cos30°=．故答案为：．14．等差数列{an}满足a3+a8=2，则该数列前10项和S10=10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列前n项和公式和等差数列的性质能求出结果．第10页（共15页）【解答】解：∵等差数列{an}满足a3+a8=2，∴该数列前10项和：S10==．故答案为：10．15．已知tan（α﹣β）=，tanβ=，则tan（α+）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα=tan[