理解-霍普分岔

1234.2.1Hopf分岔定理当参数变化时，系统的行为在稳定的平衡点和稳定的极限环之间切换，这种动力学演化过程称为Hopf分岔。该分岔由Hopf于1942年进行了严格的理论证明，即Hopf分岔定理。Hopf分岔定理：假定系统为)(xfx，其中nxR为状态变量，R为系统参数，当0时，系统有平衡点00,x，且满足：(1)00()xDfx除了有一对共轭的纯虚数特征根外，其余特征根实部均不为0；(2)0Re0ddd(4-1)则系统在平衡点00,x处发生Hopf分岔，产生平衡点和极限环之间的状态演化过程。Hopf分岔包含2种情况，极限环在参数μ大于分岔值μ0的范围内存在，称为超临界(supercritical)Hopf分岔，如图4.3(a)所示；极限环在参数μ小于分岔值μ0的范围内存在，称为亚临界(subcritical)Hopf分岔，如图4.3(b)所示。(a)超临界Hopf分岔4(b)亚临界Hopf分岔图4.3Hopf分岔图Fig.4.3HopfbifurcationHopf分岔的基本概念可以用移相式RC正弦振荡器来说明，RC正弦振荡器如图4.4所示，其中放大器转移特性为：3333)(mvkvvgvo(4-2)ARRRCCCv1+-v2+-v3+-v0+-图4.4RC正弦振荡器Fig.4.4RCsinusoidaloscillator当电路中放大器的线性电压放大倍数k29时，振荡器中将产生稳定的周期振荡，振荡频率062fRC。由于电路含有3个动态元件(电容)，我们可分别以3个电容电压为状态变量列出状态方程为：112021233231(2)1(2)1()dvvvvdtRCdvvvvdtRCdvvvdtRC(4-3)5代入放大器的转移特性，并令tRC将时间归一化后，则有非线性状态方程：311233212332322dvvvkvmvddvvvvddvvvd(4-4)令上式等于0，可得相点(v1，v2，v3)＝(0，0，0)是该电路唯一的平衡点。在平衡点处对方程进行线性化，得系数矩阵为：11012112jockA(4-5)则特征方程为：016523k(4-6)当k＝29时，λ1＝－5，2,36j，有一对实部为零的共轭复特征值。即k＝29时，平衡点为非双曲平衡点；当k＝28(＜29)时，λ1＜0，2,3()()akjk，且a(k)＜0，ω(k)＞0，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点，系统状态变量的时域波形如图4.5(a)所示；当k＞29时，λ1＜0，2,3()()akjk，但a(k)＞0，即平衡点为不稳定双曲平衡点，系统产生一个稳定的极限环，系统状态变量的时域波形如图4.5(b)所示。由此可知，k＝29是分岔临界值，当k从k＜29增加经过k＝29到k＞29时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡点的稳定性质变化外，还从平衡点分岔出极限环，即产生周期振荡，由Hopf分岔定理证明，该分岔为超临界Hopf分岔。6(a)稳定的平衡点，k＝28，m＝1(b)稳定的极限环，k＝30，m＝1图4.5系统状态变量的时域波形图Fig.4.5Thetime-domainwaveformsofstatevariables4.2.2电力电子中的Hopf分岔并联Boost变换器、滞环电流模式控制的Cuk变换器都可以产生Hopf分岔运动[102]。和倍周期分岔不同，Hopf分岔属于慢标度分岔，需要建立变换器的平均模型来进行理论分析。根据平均模型可得到系统的雅可比矩阵，然后再根据Jacobian矩阵的特征值来判断平衡点的稳定性。由于变换器经过Hopf分岔产生了极限环，该极限环周期与变换器内在周期可能存在不可通约的情况，即系统中存在两个比值为无理数的周期，所以Hopf分岔后将可能产生准周期的情况。这种变换器中的Hopf分岔通向混沌的路径如图4.6所示。周期极限环准周期混沌图4.6Hopf分岔通向混沌的道路Fig.4.6Theroutetochaosviahopfbifurcation