焦半径公式的证明

1焦半径公式的证明【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a2c）的动点轨迹（图形）.这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a.第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”.遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌.为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”.一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a-.【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.【解答】由两点间距离公式，可知|PF1|=(1)从椭圆方程解出(2)代（2）于（1）并化简，得2|PF1|=(-a≤x≤a)同理有|PF2|=(-a≤x≤a)【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+exr2=a-ex(e=)从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数.r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.【例2】P(x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（ac0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.【解答】依题意，有方程组②-③得代①于④并整理得r1-r2=⑤联立①，⑤得【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.三、焦半径公式与准线的关系3用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：x=-为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆的第二定义，则有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.【例3】P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1⊥l交l于D1.求证：.【解答】由椭圆的焦半径公式|PF1|=a+ex.对|PD1|用距离公式|PD1|=x-=x+.故有.【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e（0e1）.四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程4现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.【例4】设点P（x，y）适合方程.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）.【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex①同理还有r2=a-ex②①+②得r1+r2=2a即|PF1|+|PF2|=2a.即P（x，y）到两定点F1（-c，0）和F2（c,0）的距离之和为2a.【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.