35-导数研究函数单调性与极值

1第35课导数研究函数单调性与极值【教学目标】一、知识目标1、使学生掌握运用导数研究函数单调性、极值和最值等问题的方法，提高解导数问题的能力。二、能力目标1了解函数单调性和导数的关系:能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间（其中多项式函数一般不超过三次）2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭期间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）三、情感目标会利用导数解决某些实际问题【教学重点】分类讨论和恒成立问题；【教学难点】分类讨论。【考点分析】由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面。【知识点梳理】【导数在函数的单调性、极值、最值中的应用】1.函数的单调性与导数一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数若x=x0是函数y=f(x)的极值点，则f’(x0)=0。（反之不一定成立）注意极值点不是点，极值点与极值的区别求函数()yfx的极值的方法是:(1)如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极大值;(2)如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()yfx在(,)ab内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.2-22xyO1-1-114.生活中的优化问题利用导数的知识,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题【典型例题】题型一利用导数讨论函数单调性例题1：1.(05广东卷)函数13)(23xxxf是减函数的区间为()A.),2(B.)2,(C.)0,(D.)2,0(解：xxxf63)(2函数)(xf为减函数，则有20063,0)(2xxxxf，解得即，所以答案为D.2．(05江西)已知函数)(xfxy的图象如右图所示(其中)(xf是函数)(xf的导函数)，下面四个图象中)(xfy的图象大致是（）解：观察图象可知：0)(,0)()(1xfxxfxfx为增函数，即时，即答案选D变式：求函数的单调区间、根据函数单调区间求参数值、简单含参数函数单调性讨论已知函数53123axxxy(1)若函数在,总是单调函数，则a的取值范围是.(2)若函数在),1[上总是单调函数，则a的取值范围.（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是解：axxxf2)(2，即.00),()(或恒小于等于上恒大于等于在xf0)()(xfxf开口向上，由于即1,0a即。因为单调递增，，即开口向上，对称轴为),1(12)(2xxaxxxf],1[若要在上总是单调函数，则3,030)1(aaf即，即。若函数在区间（-3，1）上单调递减，即0)1(0)3(ff以及，解得：a=-3O-22xy1-1-212Oxy-2-221-112O-24xy1-1-212O-22xy-124ABCD3题型二：函数的极值问题（05全国卷Ⅰ）函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a（）A．2B.3C.4D.5解:03627,0)2(,23)(2afxaxxxf即解得：5a答案选D变式：求函数极值；根据极值求解析式（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bxaxexxfx，已知12xx和为)(xf的极值点。（1）求ba,的值；（2）讨论)(xf的单调性；解：解：(Ⅰ)因为122()(2)32xfxexxaxbx1(2)(32).xxexxaxb又21()(2)(1)0.xxfxff和为的极值点，所以因此620,3320,abab解方程组得1,1.3ab(Ⅱ)因为1,1,3ab所以1()(2)(1),xfxxxe令123()0,2,0,1.fxxxx解得因为(,2)(0,1)()0;xfx当时，(2,0)(1,)()0;xfx当时，所以()fx在（-2，0）和（1，+）上是单调递增的；在（-，-2）和（0，1）上是单调递减的.题型三：函数的最值问题求函数5123223xxxy在[0,3]上的最大值与最小值解：12662xxy为对称轴的二次函数，为一个以21xy单调递减，在函数)2,0(xy4单调增加在)3,2(，,4)3(.5)0(yy15)2(y；所以在x=2时，取得最小值-15；x=3时，取得最大值5.变式：给定区间求函数最值、已知函数的最值求参数（恒成立问题）已知函数()lnfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值；（Ⅱ）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围.解：（Ⅰ）定义域0x1ln)(xxf，单调递增，单调递减，在在)1()1,0()(exexxf，在ex1时取得最小值e1（Ⅱ）xxaaxxf1ln1)(可得：由,令xxxh1ln)(，21)(xxxh在)(1xhx时，恒0，1,1)1(1)(ahxxh即时有最小值。在【方法与技巧总结】1.求函数单调区间的一般步骤：（1）求函数f(x)的导数f/(x)；（2）令f/(x)0解不等式，得x的范围就是单调增区间；令f/(x)0解不等式，得x的范围就是单调减区间；（3）对照定义域得出结论．2.若()fx是可导函数，注意0()0fx是0x为函数()fx极值点的必要条件．要确定极值点还需在0x左右判断单调性．3.求函数()fx在闭区间,ab上的最大值（或最小值）的步骤：①求()fx在,ab内的极大（小）值，②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者．【巩固练习】1．关于函数76223xx，下列说法不正确的是（）A．在区间（，0）内，)(xf为增函数B．在区间（0，2）内，)(xf为减函数C．在区间（2，）内，)(xf为增函数D．在区间（，0）),2(内,)(xf为增函数2．若a0,b0,且函数f（x）=3242xaxbx在x=1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．953.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(xf的图象可能是()4.现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是A．1mB．1.5mC．0.75mD．0.5m5.右图是函数()yfx的导函数()yfx的图象，给出下列命题：①2是函数()yfx的极值点；②1是函数()yfx的极值点；③()yfx在0x处切线的斜率小于零；④()yfx在区间(2,2)上单调递增.则正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）6．（本小题满分10分）设1()(0)xfxaxaax.（Ⅰ）判断函数()fx在(0,)的单调性；（Ⅱ）设()ga为()fx在区间[1,2]上的最大值，写出()ga的表达式.7.设函数2()(1)2ln(1)fxxx.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若当1[1,1]xee时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围；xyO12–268．已知f(x)＝ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围.9．已知a为实数，))(4()(2axxxf。⑴求导数)(xf；⑵若0)1(f，求)(xf在[－2，2]上的最大值和最小值；⑶若)(xf在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。10．已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值。⑴讨论)1(f和)1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；⑵过点)16,0(A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程。【课后作业】1．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）2.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是（）)34B.(,34+∞)C.(--∞,0)∪(34,+∞）3.若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）1C.a≤374.若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）215.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为6.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：①f(x）在［-2，-1］上是增函数；②x=-1是f(x)的极小值点；③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；④x=3是f(x)的极小值点其中判断正确的是7.函数f(x)的导函数y=)(xf的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为8.已知函数f(x)的导函数为)(xf,且满足f(x)=3x2+2x)2(f,则)5(f=9.已知函数f(x)=x3-21x2(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围10.函数2()1xafxx()aR.（I）若)(xf在点(1,(1))f处的切线斜率为12，求实数a的值；（II）若()fx在1x处取得极值，求函数()fx的单调区间.11．设0a，函数xaxaxxfln)1(21)(2.（1）当2a时，求曲线)(xfy在（3，)3(f）处切线的斜率；8（2）求函数)(xf的极值点。12．已知函数2()lnfxaxbx在1x处有极值12.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断函数()yfx的单调性并求出单调区间.13.已知函数32()6fxxax.（Ⅰ）当1a时，求曲线)(xfy在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数)(xfy的单调性.14.（本小题满分13分）设21)(axexfx，其中a为正实数.（Ⅰ）当34a时，求()fx的极值点；（Ⅱ）若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围.【拓展训练】1、已知函数32()233.fxxx（1）求曲线()yfx在点2x处的切线方程；（2）若关于x的方程0fxm有三个不同的实根，求实数m的取值范围.2、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(Raxaaxnxxf（Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1fxfya（Ⅱ）当21a时，讨论()fx的单调性．9【参考答案】1、巩固练习答案1、解：xxxf126)(2，所以为增函数；时，)(,0)(),2()2,(xfxfxBxfxfx答案选为减函数。）时，，（)(,0)(222、解：baxxxf2212)(2,6,0)1(baf即,9)2(2baab，所以答案选D3、解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,所以只有答案A满足。4、解：设底面一边长为x，另一边长为2x,则高为（4.5-3x）xxV963,21818xxV，令0V，即x=1时V有最大值，所以底面的较短边长是1.选A5、观察