全国高中数学联赛模拟卷二试

ABCPQIDO1I1I2ABCPQIDO1I1I22014年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）在RtABC中，CD是斜边AB上的高，记12,,III分别是△ADC,△BCD,△ABC的内心，I在AB边上的射影为1O，,CABABC的角平分线分别交,BCAC于,PQ，且PQ的连线与CD相交于2O，求证：四边形1122IOIO为正方形．二、（本题满分40分）给定正数a,b,c,d,证明：badbadadcadcdcbdcbcbacba333333333333.2222dcba三、（本题满分50分）设Nk，定义11A，2)1(221nnnAAknn，,2,1n证明：当1n时，nA为整数，且nA为奇数的充要条件是)4(mod21或n四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.一．证明：不妨设BC≥AC，由~ADCCDB且12,II分别是其内心，得12IDACBCID且0121902IDIADBACB，所以12~DIICAB则21IIDCAB①设,ADCBCD的内切圆半径分别为12,rr，RtABC的三边长为,,abc，12,II在AB边上的射影为,EF，并且,,ADxBDyCDz，则121,,222xzbyzabcarrAO，所以1121222bcayzaxzbDOAOADxrr，1122111()IErrrrDFDOOF，112122()EOrrrrIF，因此1112IEOFOI．1112OIOI且112112112212IOIIOEIOFOIFIOF，②则121,,,DOII四点共圆2121IOFIIDCAB（由①知）所以12//OIAC，同理11//OIBC，∴11111()21()2bcaAIAObcaIPBOcabcab，又由角平分线性质得CQBCCQBCabCQQABAQACQBABCac同理abCQbc，另一方面2222221sin21sin2CQOCPOCQCOACDSQObcbOPSacaCPCOBCD，又122112()//()AIQObcabbcOICAIPOPcabaac，而()()()()aacbcabbccab2222()()aabacacbcacbbcbabcacbc22()()0aabbbbaa，所以21//OICA，同理22//OIBC，所以四边形1122IOIO为平行四边形，由②知四边形1122IOIO为正方形．二．解：由于问题的对称性,只要证明对于任何正数下式成立因为如果上式成立,则原式的左边不小于不失一般性,可以在的假设下证明上述不等式.如果,只要将不等式两边同除,令于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件的正数证明此不等式证明如下：三．证明：注意到knnnnAAn21)1(2)2(knnnAnAn212)1()1(得1212112)1(2)1()1)(2(kknnnnnAnAnn反复运用上式，得)1()(2nnnSAn，其中tttnnS21)(，12kt得nittnittiiniinnS10])1[(])[()(2，从而可知)(2|)1(nSnn，因此)1(nAn是整数.（1）当)4(mod21或n时，由)(nS有奇数个奇数项知)(nS为奇数，所以nA为奇数.（2）当)4(mod0n时，)4(mod0)2(tn，故)4(mod0)2(])[()(20tnittniinnS，所以nA为偶数（3）当)4(mod3n时，)4(mod0)21(tn，故)4(mod0)21(])1[()(211tnittniinnS，所以nA为偶数综上所述，命题成立，证毕.四．解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，13n.再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数a，称如下10个数所构成的集合:{10,101,109}aAaaa为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段11,,aaaAAA时，其中必有连续10个数同属于aA.现在设110kkaaaa110110(1),(6)kkkkaaaaaaaa是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是000,1,,6,kkkiiiiiiaaa显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为13.n2014全国高中数学联赛模拟题(2)加试（二试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）在△ABC中，AB＞BC，K、M分别是边AB和AC的中点，O是△ABC的内心。设P点是直线KM和CO的交点，而Q点使得QP⊥KM且QM∥BO，证明：QO⊥AC。2、（本题40分）已知无穷数列na满足,,10yaxa,2,11111naaaaannnnn.（1）对于怎样的实数x，y，总存在正整数0n,使当0nn时，na恒为常数？（2）求数列na的通项公式.3、（本题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.(第6届国际数学奥林匹克试题)4、（本题50分）设*211,1,3Nnaaaannn，证明：（1）对所有)4(mod3,nan；（2）当mm时，1),(nmaa（即nmaa,互质）1、证：作OR⊥AC于R，过P作MK的垂线，交直线OR于Q点（如图）。这样只需证Q’M∥O，因为这时Q和Q’重合。因为K，M分别为AB和AC的中点，所以KM∥BC，于是∠MPC＝∠BCP＝21∠ACB＝∠MCP。因此MP＝MC＝MA，这样一来，P点在以AC为直径的圆周上，且∠APC＝90°。在四边形APOR中，∠APO＝∠ARO＝90°，所以APOR内接于圆，∠RPO＝∠RAO＝21×∠BAC。在四形边MPQ’R中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R内接于圆，于是∠Q’MR＝∠Q’PR＝∠Q’PO＋∠OPR＝（90°－∠OPM）＋21∠BAC＝（90°－21∠ACB）＋21∠BAC。设BO交AC于D，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠ACB－21∠ABC＝90°＋21∠BAC－21∠ACB＝∠Q’MR，因此MQ’∥BO，于是本题得证。2、解：由递归方程xxxxf212，得不动点1x.由不动点方法111111111111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa111111nnnnnnnnaaaaaaaa111111nnnnaaaa111111nnnnaaaa.令11nnnaab，则Nnbbbnnn11.易知110xxb，111yyb.注意到23221nnnnnnbbbbbb21012433322nnFFnnnnbbbbbb，其中，11nnnFFF，110FF，nF为斐波那契数列.于是，11nnnaab2101nnFFbb211111nnFFxxyy.故11nnaa2111121nxxyynnFF.（1）要使总存在正整数0n，当0nn时，na恒为常数，还需分情况讨论.（i）若10n，当0nn时，na恒为常数.由ya1，101021aaaaayyxxy1，yyya2123，……有1y，且xy.此时，na恒为常数1或1.（ii）若20n，当0nn时，na恒为常数.首先，当01nnan时，如果30n，由10na，110na及10na1100001nnnnaaaa，有110na.注意到110na.又由0na212100001nnnnaaaa，有120na.于是，由10na323200001nnnnaaaa，有110na，矛盾.此时，只能是20n，即21nan，所以，101021aaaaa11yxxy，12122121311aaaaaaaaa1111yy，……于是，11yxxy，且1y01yxxy，且xy，1y1x或1y，且xy，1y.因此，当1x或1y，且xy时，取20n.当2n时，na恒为常数1.其次，当na在200nnn时不恒为1，但当0nn时，使na恒为常数，故1na2,00nnn.则11nnaa211111nnFFxxyy在0nn时恒为常数.显然，111xx，111yy.若111xx且111yy，则0yx，有101021aaaaa的分母为0，矛盾.所以，只能011xx或011yy，即1x或1y，且xy时，当200nnn时，na恒为常数1.综上，当1x且xy或1y且yx时，总存在正整数0n，使当0nn时na恒为常数1或1.（2）注意到11nnaa2111121nxxyynnFF.则111111221nnFFnxxyya11111112212121nnnnnnFFFFFFxyxyxy.故21111111121212121nxyxyxyxyannnnnnnnFFFFFFFFn，xa0，ya1.3、证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A