点线面的位置关系与平行关系---讲义

1/17点、线、面位置关系以及线面平行关系【知识点梳理】1、公理及推论公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内．用符号语言表示公理1：,,,AlBlABl．公理1作用：判断直线是否在平面内．公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a．符号语言：,PABABlPl．公理2作用：①它是判定两个平面相交的方法．②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点．③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面．公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2、空间直线与直线之间的位置关系（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．（2）异面直线性质：既不平行，又不相交．（3）异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线．（4）异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角．两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．（5）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．B、证明作出的角即为所求角．C、利用三角形来求角．（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条．（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补．3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：aα；a∩α＝A；a∥α．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．2/174、平面与平面之间的位置关系：平行—没有公共点：α∥β；相交—有一条公共直线：α∩β＝l．5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（记忆口诀：线线平行线面平行）符号表示为：,,////ababa．图形如右图所示．6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//ababPab．图形如右图所示．7、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（记忆口诀：线面平行线线平行）用符号表示为：////aaabb．图形如右图所示．8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：//,,//abab.其它性质：①//,//ll；②//,ll；③夹在平行平面间的平行线段相等．图形如右图所示．βabPab3/17【典型例题】题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．求证：P在直线BD上．．变式1：如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则（）（A）EF与GH互相平行（B）EF与GH异面（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上变式2：如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且ADAHABAE，CDCGCBCF，求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）当时，四边形EFGH是平行四边形；（3）当时，四边形EFGH是梯形．4/17题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2：A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角．变式3：给出下列关于互不相同的直线,,lmn和平面,,的三个命题：①若,lm为异面直线，,lm，则//；②若//,,lm，则//lm；③若,,,//lmnl，则//mn，其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定例题3：如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F．求证：EF∥平面ABCD．5/17变式4：一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC，并给出证明．题型四、证明线面平行与线面平行性质的运用例题4：如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．．QPNMFEDCBANMGFEDCBA6/17变式5：如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．变式6：如图所示，PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，,,EFG分别是线段,,PAPDCD的中点，求证：//PB面EFG．baPQONBMA7/17变式7：如图，在长方体1111ABCDABCD中，,EP分别是11,BCAD的中点，,MN分别是1,AEDC的中点，求证：//MN面11ADDA．题型五：证明面面平行与面面平行性质的运用例题5：如图，在四棱锥P–ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．8/17变式8：正方体ABCD—A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．【方法与技巧总结】1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②利用平行四边形．③利用三角形中位线．（3）面与面平行证明方法：主要证明线线平行即可．（4）掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化．2．求角：（1）两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(；（2）直线和平面所成的角：先找射影，构造成直角三角形．A1AB1BC1CD1DGEF9/17【巩固练习】1．A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是（）A．lBlBAlA,,,B．AA,，ABBB,直线C．AlAl,D．CBA,,，CBA,,且CBA,,不共线与重合2．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A．如果mnm,,、n是异面直线，那么//nB．如果mnm,,、n是异面直线，那么与n相交C．如果mnm,//,、n共面，那么nm//D．如果mnm,//,//、n共面，那么nm//3．有以下命题，正确命题的序号是．①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行；④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行．4．在三棱锥PABC中，,OD分别是,ABPB的中点．求证：//OD平面PAC．5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，,EF分别是,PBPC的中点，证明：//EF平面PAD．10/176．如图所示，在三棱柱111ABCABC中，D点为棱AB的中点，求证：1//AC平面1CDB．7．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC中点，M为PD中点．证明：//PB平面ACM．8．如图，已知DE∥AB，2AB=DE，且F是CD的中点，求证：AF∥平面BCE．9．在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中,E是线段11AC的中点，底面ABCD的中心是F，求证：CE∥平面1ABD．DCABPMO11/17【课后作业】1．已知直线l1、l2，平面α，l1∥l2，l1∥α，则ｌ2与α的位置关系是（）Al2∥αBl2αCl2∥α或l2αDl2与α相交2．设平面与平面交于直线l，直线a，直线b，Mba，则M_______l．3．直线AB、AD，直线CB、CD，点EAB，点FBC，点GCD，点HDA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．4．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为．5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=．(5题)(6题)6．直线a、b不在平面内，a、b在平面内的射影是两条平行直线，则a、b的位置关系是．7．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、CC1、C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH的形状是．8．空间四边形ABCD中,AD=1,BC=3,BD=213,AC=23,且BCAD,则异面直线AC和BD所成的角为．9．在四棱锥PABCD中，1//,2ABCDABDC，E为PD中点，F为PC中点．求证：//AE平面PBC．10．如图，矩形ABCD，AB为圆O的直径，点F在圆O上，设FC的中点为M，求证：//OM平面DAF．12/17ABDCNMPMBFCNDAEDEMABCNPBHCDAFEG11．M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，（1）求MN与AD所成的角；（2）求MN与CD1所成的角．12．如图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=14cm，BD=14cm，M、N分别是AB，CD的中点，MN=37cm，求异面直线AC与BD所成的角．13．已知四面体ABCD中，M，N分别是ABC和ACD的重心，求证：（1）BD//平面CMN；（2）MN//平面ABD．14．如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，（1）求证：CD//平面EFGH；（2）求异面直线AB，CD所成的角．15．M，N，P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM：MB=CN：NB=CP：PD．求证：（1）AC//平面MNP，BD//平面MNP；（2）平面MNP与平面ACD的交线//AC．13/17【拓展训练】1．（四川卷）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面2．（浙江卷）若直线l不平行于平面α，且lα，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．（四川卷）下列命题正确的是（）A．若两条