湘教版九年级数学下册教案全册

1湘教版九年级数学下册教案1．1二次函数1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)2．能根据实际情况建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围．(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的相关概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？(1)y＝2－x2;(2)y＝1x2－1；(3)y＝2x(1＋4x);(4)y＝x2－(1＋x)2.解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式，不符合二次函数的定义，故y＝1x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式中自变量最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解析：紧扣二次函数定义求解，注意易错点为忽视k＋2≠0.解：根据题意知k2－2＝2，k＋2≠0，解得k＝±2，k≠－2，∴k＝2.方法总结：紧扣定义中的两个特征：①二次项系数不为零；②自变量最高次数为2.2变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】与二次函数系数有关的计算已知一个二次函数，当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝12；当x＝－1时，y＝18.求这个二次函数中各项系数的和．解析：解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．把x＝0，y＝0；x＝2，y＝12；x＝－1，y＝18分别代入函数表达式，得c＝0，4a＋2b＋c＝12，a－b＋c＝18，解得a＝18，b＝0，c＝0.所以这个二次函数的表达式为y＝18x2.所以a＋b＋c＝18＋0＋0＝18，即这个二次函数中各项系数的和为18.方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解决这类问题要根据x，y的对应值，列出关于字母a，b，c的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a，b，c的值．探究点二：建立简单的二次函数模型一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？(2)当x的值为2或4时，相应的剩余部分的面积是多少？解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．解：(1)y＝122－2x(x＋1)，又∵2x≤12，∴0x≤6，即y＝－2x2－2x＋144(0x≤6)，∴y是x的二次函数；(2)当x＝2时，y＝－2×22－2×2＋144＝132，当x＝4时，y＝－2×42－2×4＋144＝104，∴当x＝2或4时，相应的剩余部分的面积分别为132cm2或104cm2.方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题都可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型来解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计3本节课是从生活实际中引出二次函数模型，从而得出二次函数的定义及一般形式，会写简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.1．2二次函数的图象与性质第1课时二次函数y＝ax2(a0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y＝ax2(a0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h＝12gt2(g为常量)，h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2(a0)的图象已知y＝(k＋2)xk2＋k是二次函数．(1)求k的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k的值，从而确定表达式，画出图象．4解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k为二次函数，∴k2＋k＝2，k＋2≠0，解得k＝1；(2)当k＝1时，函数的表达式为y＝3x2，用描点法画出函数的图象．列表：x－1－120121…y＝3x23340343…描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)．连线：用光滑的曲线按x的从小到大的顺序连接各点，图象如图所示．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y＝ax2(a≠0)图象关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二：二次函数y＝ax2(a0)的性质已知点(－3，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________．解析：方法一：把x＝－3，1，2分别代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1y3y2；方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1y3y2；方法三：∵该图象的对称轴为y轴，a0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y3)．又∵321，∴y1y3y2.方法总结：比较二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比较；②图象法；③根据函数的增减性进行比较，但当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题探究点三：二次函数y＝ax2(a0)的图象与性质的简单应用5已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m2＋m－4＝2且m＋2≠0；抛物线有最低点，则抛物线开口向上，即m＋20.解：(1)由题意得m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得m＝2或m＝－3，m≠－2，∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数；(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋20，即m－2，∴取m＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x0时，y随x的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2(a0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时二次函数y＝ax2(a0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a0)的图象；(重点)2．掌握形如y＝ax2(a0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入上节课我们学习了a0时二次函数y＝ax2的图象和性质，那么当a0时，二次函数y＝ax2的图象和性质又会有怎样的变化呢？6二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2(a0)的图象【类型一】二次函数y＝ax2(a0)的图象在直角坐标系内，作出函数y＝－12x2的图象．解析：作函数的图象采用描点法，即“列表、描点、连线”三个步骤．解：列表：x012…y＝－12x20－12－2…描点和连线：画出图象在y轴右边的部分，利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，如图．方法总结：(1)列表应以0为中心，选取x0的几个点求出对应的y值；(2)描点要准；(3)画出y轴右边的部分，利用对称性，可画出y轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，不能是折线．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是()解析：根据a、b的符号来确定．当a0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab0，∴b0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限；当a0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab0，∴b0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：二次函数y＝ax2(a0)的性质【类型一】二次函数y＝ax2(a0)的性质(2015·山西模拟)抛物线y＝－4x2不具有的性质是()A．开口向上B．对称轴是y轴C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D．最高点是原点解析：此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y＝ax2的基本形式，根据它的性质，7进行解答．因为a＝－4＜0，所以图象开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，最高点是原点．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故选A.方法总结：抛物线y＝ax2(a0)的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＝0时，图象有最高点，y有最大值0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次函数y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为()A．abcdB．abdcC．bacdD．badc答案：A方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点三：二次函数y＝ax2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB的面积．解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2x－3与二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴b＝a×12，b＝2×1－3，∴a＝－1，b＝－1；(2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，AC＝1，∴S△AMB＝S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.8方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课仍然是从学生画图象着手，结合上节课y＝ax2(a＞0)的图象和性质，从而得出y＝ax2(a＜0)的图象