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全等三角形一、选择题1.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是()A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm2.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,),则点C的坐标为()A.(﹣,1)B.(﹣1,)C.(,1)D.(﹣,﹣1)3.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是()A.B.C.D.4.如图,坐标平面上,△ABC与△DEF全等,其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,且AB=BC=5.若A点的坐标为(﹣3,1),B、C两点在方程式y=﹣3的图形上,D、E两点在y轴上,则F点到y轴的距离为何?()A.2B.3C.4D.55.平面上有△ACD与△BCE,其中AD与BE相交于P点,如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD的度数为()A.110°B.125°C.130°D.155°6.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于()A.∠EDBB.∠BEDC.∠AFBD.2∠ABF7.如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是()A.y=﹣B.y=﹣C.y=﹣D.y=﹣8.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,点M、N分别在AB、AD边上,若AM:MB=AN:ND=1:2,则tan∠MCN=()A.B.C.D.﹣29.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2二、解答题(共21小题)10.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.(1)若∠ECF=30°,CF=8,求CE的长;(2)求证:△ABF≌△DEC;(3)求证:四边形BCEF是矩形.11.已知△ABC为等边三角形,D为AB边所在的直线上的动点,连接DC,以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF(点E在DC的右侧或上侧,点F在DC左侧或下侧),连接AE、BF(1)如图1,若点D在AB边上,请你通过观察,测量,猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?并证明你的结论;(2)如图2,若点D在AB的延长线上,其他条件不变,线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?请直接写出结论(不需要证明);(3)若点D在AB的反向延长线上,其他条件不变,请在图3中画出图形,探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系,并直接写出结论(不需要证明)12.如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC.(1)求证:△ABE≌DCE;(2)当∠AEB=50°,求∠EBC的度数?13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.14.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.15.已知:如图,AD,BC相交于点O,OA=OD,AB∥CD.求证:AB=CD.16.如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.17.如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,求证:AC=DF.18.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求证:BD=CE.19.如图,已知点B、E、C、F在同一条直线上,BE=CF,AB∥DE,∠A=∠D.求证:AB=DE.20.已知△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点P在BC边上(P不与B、C重合)或点P在△ABC内部,连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE;将BP绕点B顺时针旋转90°,得到线段BD,连接ED交AB于点O.(1)如图a,当点P在BC边上时,求证:OA=OB;(2)如图b,当点P在△ABC内部时,①OA=OB是否成立?请说明理由;②直接写出∠BPC为多少度时,AB=DE.21.(1)如图1,在△ABC和△DCE中,AB∥DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条直线上.求证:∠A=∠D.(2)如图2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOD=120°,求AC的长.22.(1)如图,AB平分∠CAD,AC=AD,求证:BC=BD;(2)列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,这个班有多少学生?23.已知:如图,D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.24.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.(1)如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据______,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.(2)如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.(3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若______,则△ABC≌△DEF.25.问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是______;探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.26.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于O点,OC=OA,若E是CD上任意一点,连接BE交AC于点F,连接DF.(1)证明:△CBF≌△CDF;(2)若AC=2,BD=2,求四边形ABCD的周长;(3)请你添加一个条件,使得∠EFD=∠BAD,并予以证明.27.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E、B、D、F在同一直线上,且BE=DF.求证:AE=CF.28.(1)如图1,正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延长CD到点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证:EF=FG.(2)如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长.29.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.求证:(1)AF=CG;(2)CF=2DE.30.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,△ABC不动,△ADE绕点A旋转,连接BE、CD,F为BE的中点,连接AF.(1)如图①,当∠BAE=90°时,求证:CD=2AF;(2)当∠BAE≠90°时,(1)的结论是否成立?请结合图②说明理由.全等三角形一、选择题(共9小题)1.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是()A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm【解答】解:∵F是高AD和BE的交点,∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°,∴∠CAD+∠AFE=90°,∠DBF+∠BFD=90°,∵∠AFE=∠BFD,∴∠CAD=∠FBD,∵∠ADB=90°,∠ABC=45°,∴∠BAD=45°=∠ABD,∴AD=BD,在△DBF和△DAC中∴△DBF≌△DAC(ASA),∴BF=AC=8cm,故选C.2.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,),则点C的坐标为()A.(﹣,1)B.(﹣1,)C.(,1)D.(﹣,﹣1)【解答】解:如图,过点A作AD⊥x轴于D,过点C作CE⊥x轴于E,∵四边形OABC是正方形,∴OA=OC,∠AOC=90°,∴∠COE+∠AOD=90°,又∵∠OAD+∠AOD=90°∴∠OAD=∠COE,在△AOD和△OCE中,,∴△AOD≌△OCE(AAS),∴OE=AD=,CE=OD=1,∵点C在第二象限,∴点C的坐标为(﹣,1).故选:A.3.(2014•湖州)在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是()A.B.C.D.【解答】解:A、延长AC、BE交于S,∵∠CAB=∠EDB=45°,∴AS∥ED,则SC∥DE.同理SE∥CD,∴四边形SCDE是平行四边形,∴SE=CD,DE=CS,即走的路线长是:AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS;B、延长AF、BH交于S1,作FK∥GH与BH的延长线交于点K,∵∠SAB=∠S1AB=45°,∠SBA=∠S1BA=70°,AB=AB,∴△SAB≌△S1AB,∴AS=AS1,BS=BS1,∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB,∴FG∥KH,∵FK∥GH,∴四边形FGHK是平行四边形,∴FK=GH,FG=KH,∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,∵FS1+S1K>FK,∴AS+BS>AF+FK+KH+HB,即AC+CD+DE+EB>AF+FG+GH+HB,C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB<AS2+BS2<AN+NQ+QP+PB.综上所述,D选项的所走的线路最长.故选:D.4.如图,坐标平面上,△ABC与△DEF全等,其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,且AB=BC=5.若A点的坐
本文标题:人教版初二上数学全等三角形专题练习一(含解析)
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