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1初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)定点题型定点问题,初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题,这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因,先选择适当的参数,用参数表示出直线或抛物线方程,然后按参数整理,并令参数的系数为0得方程组,解方程方程组求出定点坐标.解题思路:这类问题通常有两种处理方法:①第一种方法:是从特殊入手,通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,再证明这个点(值)与变量无关;②第二种方法:是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值)。具体地说,就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定值。一、直线过定点问题:解法1:取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值,这样就得到关于x,y的两个方程,从中解出x,y即为所求的定点,然后再将此点代入原方程验证即可。例1:求直线(m+1)x+(m-1)y-2=0所通过的定点P的坐标。解:令m=-1,可得y=-1;令m=1,可得x=1。将(1,-1)点代入原方程得:(m+1)·1+(m-1)(-1)-2=0成立,所以该定点P为(1,-1)。解法2:由“y-y0=k(x-x0)”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k(x-x0)的形式,这样就证明了它所表示的所有直线必过定点(x0,y0)。例2:已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证不论k取任何实数值时,直线l必过定点,并求出这个定点的坐标。证明:由已知直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,∴(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),不论k取任何实数值时,直线l必过定点M(1,-1)。解法3:方程思想若方程的解有无穷多个,则方程的系数均为0,利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程,然后利用系数为零求得。例3:若2a-3b=1(a,b∈R),求证:直线ax+by=5必过定点。解:由已知得ax+by=5(2a-3b),即a(x-10)+b(y-15)=0无论a,b为何值上式均成立,所以a,b的系数同时为0,所以过定点(10,15)。解法4:直线系观点过定点的直线系A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示通过两直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2∶A2x+B2y+C2=0交点的直线系,而这交点即为直线系所通过的定点。例4:求证对任意的实数m,直线(m-1)x+2(m-1)y=m-5必过定点。解:原式可整理为(x+2y-1)m-(x+y-5)=01.直线l:kx﹣y+2k+1=0必过定点.22.直线y=mx+2m+14过定点.3.直线kx+3y+k﹣9=0过定点.4.设a+b=3,则直线ax+by=1恒过定点.5.当a+b+c=0时,直线ax+by+c=0必过定点.6.直线(m﹣1)x+y+2m+1=0过定点.7.直线(2a﹣1)x+2ay+3=0恒过的定点是.8.对于任意实数m.n,直线(m+n)x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是.9.若p,q满足条件3p﹣2q=1,直线px+3y+q=0必过定点.10.直线(m﹣1)x+(2m+3)y﹣(m﹣2)=0恒过定点.11.不论实数k为何值,直线(2k+1)x+(1﹣k)y+7﹣k=0恒经过的定点坐标是.二、抛物线过定点问题:第一步:对含有变系数的项集中;第二步:然后将这部分项分解因式,使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式;第三步:令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化,都“失效”了);第四步:解此方程,得到x的值x0(定点的横坐标),将它代入原函数式(也可以是其变式),即得到一个y的值y0(定点的纵坐标),于是,函数图象一定过定点(x0,y0);第五步:验算回顾,查看关键点、易错点,完善解题步骤.1.已知抛物线y=2x2﹣(m2+1)x+2m2﹣1,不论m取何值,抛物线恒过某定点P,则P点的坐标为()A.(2,﹣5)B.(2,5)C.(﹣2,5)D.不能确定2.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请你写出这两个定点的坐标:.3.已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,请直接写出定点坐标.34.抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A,直线l:y=x+m也过点A,则直线l的函数解析式为.5.抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点,则这个定点的坐标是.6.已知实数a、b、c满足不等式:|a|≥|b﹣c|,|b|≥|a+c|,|c|≥|a﹣b|,抛物线y=ax2+bx+c恒过定点M,则定点M的坐标为.7.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx﹣2k+6经过定点Q.(1)直接写出点Q的坐标;(2)点M在第一象限内,∠QOM=45°,若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等(如图1),求直线QM的解析式;(3)在(2)条件下,过点M作MA⊥x轴于点A,过点Q作QB⊥y轴于点B,点E为第一象限内的一动点,∠AEO=45°,点C为OB的中点(如图2),求线段CE长度的最大值.8.已知函数y=ax2﹣4bx+3,(1)求证:无论a、b为何值,函数图象经过y轴上一个定点;(2)当a、b满足什么条件时,图象与直线y=1有交点;(3)若﹣1<x<0,a=1,当函数值y恒大于1时,求b的取值范围.9.已知函数y=x2﹣(m2+4)x﹣2m2﹣12.(1)当m取何值时,此函数有最小值﹣,求出此时x的值;4(2)求证:不论m取任何实数,抛物线都过一定点,并求出定点坐标.10.已知抛物线y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B(1)求m的取值范围;(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3)当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A,B构成的△ABP的面积是否有最值?若有,求出该最值及相对应的m值.11.已知二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴的交点为(0,n﹣m),其顶点恰好在直线y=x+(1﹣m)上(其中m、n为正数).(1)求证:此二次函数的图象与x轴有2个交点;(2)在x轴上是否存在这样的定点:不论m、n如何变化,二次函数的图象总通过此定点?若存在,求出所有这样的点;若不存在,请说明理由.参考答案1.(2010秋•扬州校级期末)直线l:kx﹣y+2k+1=0必过定点(﹣2,1).【解答】解:直线l:kx﹣y+2k+1=0即k(x+2)﹣y+1=0,过直线x+2=0和直线﹣y+1=0的交点(﹣2,1),故答案为:(﹣2,1).2.直线y=mx+2m+14过定点(﹣2,14).【解答】解:∵y=mx+2m+14=m(x+2)+14,当x+2=0,即x=﹣2时,y=14,∴直线y=mx+2m+14过定点(﹣2,14).故答案为:(﹣2,14).3.(2014秋•温州校级期中)直线kx+3y+k﹣9=0过定点(﹣1,3).【解答】解:∵kx+3y+k﹣9=0,∴k(x+1)+3y﹣9=0,∴,解得,∴直线kx+3y+k﹣9=0过定点(﹣1,3).故答案为:(﹣1,3).4.设a+b=3,则直线ax+by=1恒过定点(,).【解答】解:∵a+b=3,∴a•+b•=1,∴直线ax+by=1恒过定点(,).故答案为:(,).55.(2012秋•广陵区校级期中)当a+b+c=0时,直线ax+by+c=0必过定点(1,1).【解答】解:由于a+b+c=0,故点(1,1)满足直线方程ax+by+c=0,即点(1,1)在直线ax+by+c=0上,即直线ax+by+c=0必过定点(1,1),故答案为(1,1).6.(2013春•启东市校级月考)直线(m﹣1)x+y+2m+1=0过定点(﹣2,﹣3).【解答】解:直线(m﹣1)x+y+2m+1=0可化为﹣x+y+1+m(x+2)=0,可得,解得,∴直线(m﹣1)x+y+2m+1=0过定点(﹣2,﹣3)故答案为:(﹣2,﹣3)7.(2012秋•柯城区校级期中)直线(2a﹣1)x+2ay+3=0恒过的定点是(3,﹣3).【解答】解:取a=,得方程为y+3=0,此时对应的直线设为l1;再取a=0,得方程为﹣x+3=0此时对应的直线设为l2.联解.得x=3且y=﹣3,所以直线l1与l2交于点A(3,﹣3)A点即为所求直线(2a﹣1)x+2ay+3=0恒过的定点故答案为:(3,﹣3)8.(2010•定西模拟)对于任意实数m.n,直线(m+n)x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是.【解答】解:方程(m+n)x+12my﹣2n=0可化为(x+12y)m+(x﹣2)n=0∵对于任意实数m.n,直线(m+n)x+12my﹣2n=0恒过定点∴∴故定点坐标是9.(2014春•海陵区校级期中)若p,q满足条件3p﹣2q=1,直线px+3y+q=0必过定点(﹣,).【解答】解:由于3p﹣2q=1,故直线px+3y+q=0,即px+3y+=0,即p(2x+3)+6y﹣1=0,由,求得,故直线经过定点(﹣,),故答案为:(﹣,).10.直线(m﹣1)x+(2m+3)y﹣(m﹣2)=0恒过定点.【解答】解:直线(m﹣1)x+(2m+3)y﹣(m﹣2)=0化为m(x+2y﹣1)﹣(x﹣3y﹣2)=0,6联立,解得.∴直线(m﹣1)x+(2m+3)y﹣(m﹣2)=0恒过定点.故答案为:.2.(2014•涪城区校级自主招生)不论实数k为何值,直线(2k+1)x+(1﹣k)y+7﹣k=0恒经过的定点坐标是(﹣2,﹣5).【解答】解:①特殊值法:设k1=2,k2=0,代入函数关系式得:解得:.②分离参数法:由(2k+1)x+(1﹣k)y+7﹣k=0,化简得k(2x﹣y﹣1)+x+y+7=0,无论k取何值,只要成立,则肯定符合直线方程;解得:.故直线经过的定点坐标是(﹣2,﹣5).1.(2015•秦皇岛校级模拟)已知抛物线y=2x2﹣(m2+1)x+2m2﹣1,不论m取何值,抛物线恒过某定点P,则P点的坐标为()A.(2,﹣5)B.(2,5)C.(﹣2,5)D.不能确定【解答】解:∵不论m取何值,抛物线恒过某定点P,∴令m=0,则y=2x2﹣x﹣1,令m=1,则y=2x2﹣2x+1,解得∴P的坐标为(2,5),故选B.1.(2012•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请你写出这两个定点的坐标:(0,3),(2,3).【解答】解:∵原函数化为y=mx(x﹣2)+3的形式,∴当x=0或x﹣2=0时函数值与m值无关,∵当x=0时,y=3;当x=2时,y=3,∴两定点坐标为:(0,3),(2,3).故答案为:(0,3),(2,3).3.已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,请直接写出定点坐标(0,2)、(﹣2,0).【解答】解:依题意得kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,即k(x2+2x)+x﹣y+2=0恒成立,则,解得或.所以该抛物线恒过定点(0,2)、(﹣2,0).故答案为(0,2)、(﹣2,0).4.抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A,直线l:y=x+m也过点A,则直线l的函数解析式为y=x.【解答】解:∵y=x2+ax+a﹣2,∴(x+1)a=y+2﹣x2,当x+1=0且y+2﹣x2=0时,即x=﹣1,y=﹣1,a为任意实数,∴抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A(﹣1,﹣1),7把A(﹣1,﹣1)代入y=x+m得﹣1+m=﹣1,解得m=0,∴直线l的解析式为y=x.故答案为y=x.5.抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点,则这个定点的坐标是(2,4).【解答】解:∵y=x2+mx﹣2m可化为y=x2+m(x﹣2),∴当x=2时,y=4;且与m的取值无关;∴定点(2,4),故答案为(2,4).6.已知实数a、b、c满足不等式:|a|≥|b﹣c|,|b|≥|a+c|,|c|≥|a﹣b|,抛物线y
本文标题:初中数学定点问题知识点与常考难题和培优提高练习压轴题(含解析)
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