初中数学定点问题知识点与常考难题和培优提高练习压轴题(含解析)

1初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)定点题型定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.解题思路：这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值。一、直线过定点问题：解法1：取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。例1：求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。解：令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。将（1，-1）点代入原方程得：（m+1）·1+（m-1）（-1）-2＝0成立，所以该定点P为（1，-1）。解法2：由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。例2：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。证明：由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k，∴（k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不论k取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。解法3：方程思想若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。例3：若2a-3b=1（a，b∈R），求证：直线ax＋by=5必过定点。解：由已知得ax+by=5（2a-3b），即a（x-10）+b（y-15）=0无论a，b为何值上式均成立，所以a，b的系数同时为0，所以过定点（10，15）。解法4：直线系观点过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。例4：求证对任意的实数m，直线（m-1）x＋2（m-1）y＝m-5必过定点。解：原式可整理为（x＋2y-1）m-（x＋y-5）＝01．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点．22．直线y=mx+2m+14过定点．3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点．4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点．5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点．6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点．7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是．8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是．9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点．10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点．11．不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1﹣k）y+7﹣k=0恒经过的定点坐标是．二、抛物线过定点问题：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：验算回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．1．已知抛物线y=2x2﹣（m2+1）x+2m2﹣1，不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）A．（2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．不能确定2．某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：．3．已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标．34．抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A，直线l：y=x+m也过点A，则直线l的函数解析式为．5．抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是．6．已知实数a、b、c满足不等式：|a|≥|b﹣c|，|b|≥|a+c|，|c|≥|a﹣b|，抛物线y=ax2+bx+c恒过定点M，则定点M的坐标为．7．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣2k+6经过定点Q．（1）直接写出点Q的坐标；（2）点M在第一象限内，∠QOM=45°，若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1），求直线QM的解析式；（3）在（2）条件下，过点M作MA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥y轴于点B，点E为第一象限内的一动点，∠AEO=45°，点C为OB的中点（如图2），求线段CE长度的最大值．8．已知函数y=ax2﹣4bx+3，（1）求证：无论a、b为何值，函数图象经过y轴上一个定点；（2）当a、b满足什么条件时，图象与直线y=1有交点；（3）若﹣1＜x＜0，a=1，当函数值y恒大于1时，求b的取值范围．9．已知函数y=x2﹣（m2+4）x﹣2m2﹣12．（1）当m取何值时，此函数有最小值﹣，求出此时x的值；4（2）求证：不论m取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标．10．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．11．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+（1﹣m）上（其中m、n为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．参考答案1．（2010秋•扬州校级期末）直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点（﹣2，1）．【解答】解：直线l：kx﹣y+2k+1=0即k（x+2）﹣y+1=0，过直线x+2=0和直线﹣y+1=0的交点（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．2．直线y=mx+2m+14过定点（﹣2，14）．【解答】解：∵y=mx+2m+14=m（x+2）+14，当x+2=0，即x=﹣2时，y=14，∴直线y=mx+2m+14过定点（﹣2，14）．故答案为：（﹣2，14）．3．（2014秋•温州校级期中）直线kx+3y+k﹣9=0过定点（﹣1，3）．【解答】解：∵kx+3y+k﹣9=0，∴k（x+1）+3y﹣9=0，∴，解得，∴直线kx+3y+k﹣9=0过定点（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点（，）．【解答】解：∵a+b=3，∴a•+b•=1，∴直线ax+by=1恒过定点（，）．故答案为：（，）．55．（2012秋•广陵区校级期中）当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点（1，1）．【解答】解：由于a+b+c=0，故点（1，1）满足直线方程ax+by+c=0，即点（1，1）在直线ax+by+c=0上，即直线ax+by+c=0必过定点（1，1），故答案为（1，1）．6．（2013春•启东市校级月考）直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点（﹣2，﹣3）．【解答】解：直线（m﹣1）x+y+2m+1=0可化为﹣x+y+1+m（x+2）=0，可得，解得，∴直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，﹣3）7．（2012秋•柯城区校级期中）直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是（3，﹣3）．【解答】解：取a=，得方程为y+3=0，此时对应的直线设为l1；再取a=0，得方程为﹣x+3=0此时对应的直线设为l2．联解．得x=3且y=﹣3，所以直线l1与l2交于点A（3，﹣3）A点即为所求直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点故答案为：（3，﹣3）8．（2010•定西模拟）对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是．【解答】解：方程（m+n）x+12my﹣2n=0可化为（x+12y）m+（x﹣2）n=0∵对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点∴∴故定点坐标是9．（2014春•海陵区校级期中）若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点（﹣，）．【解答】解：由于3p﹣2q=1，故直线px+3y+q=0，即px+3y+=0，即p（2x+3）+6y﹣1=0，由，求得，故直线经过定点（﹣，），故答案为：（﹣，）．10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点．【解答】解：直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0化为m（x+2y﹣1）﹣（x﹣3y﹣2）=0，6联立，解得．∴直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点．故答案为：．2．（2014•涪城区校级自主招生）不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1﹣k）y+7﹣k=0恒经过的定点坐标是（﹣2，﹣5）．【解答】解：①特殊值法：设k1=2，k2=0，代入函数关系式得：解得：．②分离参数法：由（2k+1）x+（1﹣k）y+7﹣k=0，化简得k（2x﹣y﹣1）+x+y+7=0，无论k取何值，只要成立，则肯定符合直线方程；解得：．故直线经过的定点坐标是（﹣2，﹣5）．1．（2015•秦皇岛校级模拟）已知抛物线y=2x2﹣（m2+1）x+2m2﹣1，不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）A．（2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．不能确定【解答】解：∵不论m取何值，抛物线恒过某定点P，∴令m=0，则y=2x2﹣x﹣1，令m=1，则y=2x2﹣2x+1，解得∴P的坐标为（2，5），故选B．1．（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：（0，3），（2，3）．【解答】解：∵原函数化为y=mx（x﹣2）+3的形式，∴当x=0或x﹣2=0时函数值与m值无关，∵当x=0时，y=3；当x=2时，y=3，∴两定点坐标为：（0，3），（2，3）．故答案为：（0，3），（2，3）．3．已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标（0，2）、（﹣2，0）．【解答】解：依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．故答案为（0，2）、（﹣2，0）．4．抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A，直线l：y=x+m也过点A，则直线l的函数解析式为y=x．【解答】解：∵y=x2+ax+a﹣2，∴（x+1）a=y+2﹣x2，当x+1=0且y+2﹣x2=0时，即x=﹣1，y=﹣1，a为任意实数，∴抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A（﹣1，﹣1），7把A（﹣1，﹣1）代入y=x+m得﹣1+m=﹣1，解得m=0，∴直线l的解析式为y=x．故答案为y=x．5．抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是（2，4）．【解答】解：∵y=x2+mx﹣2m可化为y=x2+m（x﹣2），∴当x=2时，y=4；且与m的取值无关；∴定点（2，4），故答案为（2，4）．6．已知实数a、b、c满足不等式：|a|≥|b﹣c|，|b|≥|a+c|，|c|≥|a﹣b|，抛物线y