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三角恒等变换复习基本思想:理解三角函数中的4个“三”:(1)从知识层面看:三角函数公式系统的三条主线——同角关系式、诱导公式、变换公式(和、差、倍角).(2)从问题层面看:三角变换三大问题——求值、化简、证明.(3)从方法层面看:“三个统一”——解决三角函数问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构”方面思考(4)从算法层面看:使用公式的三重境——顺用、逆用、变用.1、两角和与差的三角函数公式:)cos(sinsincoscos)sin(sincoscossin)tan(.tantan1tantan)sin(sincoscossin)cos(sinsincoscos)tan(.tantan1tantan基本公式:xbxacossin22ba22ba.cossin2222确定,由其中baabab2、辅助角公式说明:利用辅助角公式可以将形如的函数,转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三角函数的最小正周期、最大(小)值、单调区间等。=sin+cosyab这个公式有什么作用?)cossin(2222xbabxbaa)cossinsin(cosxx.)sin(x22ba3.二倍角公式:2tan1tan22tancossin22sin212sin变形变形(降幂公式)21cos2sin22)cos(sin2sin1变形(1)积化和差公式)]sin()[sin(21sincos)]sin()[sin(21cossin)]cos()[cos(21sinsin)]cos()[cos(21coscos4.几个三角恒等式:(不要求记忆,但要会推导)(2)和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos(3)半角公式2cos2cos12sin2cos12tancos1cos1sincos12sin2cos12cos2sin2sin2cos2sin22sin2cos12cos2sin2sin2cos2sin2cos1sin=注:在半角公式中,根号前的正负号,由角所在的象限确定.2=(4)万能公式sinα=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2α2.cosα=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α2sin2α2+cos2α2=1-tan2α21+tan2α2.CC几何法,三角函数线SS2C2S2TTT2C2S2T基本知识框架:基础练习:计算:(公式变,逆用)14cos74sin14sin74cos)1(70sin160cos110cos20sin)2(5.22sin21)3(215cos15sin)4(33tan12tan133tan12tan)5(231224111413)cos(,71cos1为锐角,,:已知例的值求cos典型例题:01413)cos(,71cos又,1433)sin(,734sin9823sin)sin(cos)cos(])cos[(cos注:⑴常用角的变换:①②③④⑤⑵注意对角范围的要求。)()()(2)(222)4()4([借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关系,分析角与角之间的互余、互补关系,合理拆、凑,把未知角用已知角表示.为锐角,解:变式练习:sinsin)cos(2sin)2sin(2:求证例sinsin)cos(2)2sin(sinsin)cos(2])sin[(sinsin)cos(cos)sin(sinsin右边证明:左边sinsin)cos(2sin)2sin([借题发挥]证明的本质是化异为同,可以说,证明是有目标的有目的化简.左右归一或变更结论,常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法.例3:已知A、B、C是△ABC三内角,向量.1,)sin,(cos,)3,1(nmAAnm;求角)(A1.tan,3sincos2sin1222CBBB求若)(解:,1)1(nm,1)sin,(cos)3,1(AA,1cossin3AA即,1)cos21sin23(2AA.21)6sin(A,0A,6566A,66A.3A即,3sincos2sin1222BBB由)(,2tanB)](tan[tanBAC)tan(BABABAtantan1tantan32132.11358,3sincos)sin(cos222BBBB得,3sincossincosBBBB即,3tan1tan1BB,0cosB[借题发挥]在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化函数名的变化,合理选择公式进行变形,同时注意三角变换技巧的运用.(给角求值,给值求值,给值求角)x1.fxxfxx212cos2()2tan().12sincos22例,求2.cos2sin,,sin.342例求1sin4cos43.1sin4cos4例化简:4.yxxxxsincossincos例求函数的值域半角公式例1.已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间π8,3π4上的最小值和最大值.综合运用例2.已知函数f(x)=2sin2π4+x-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若关于x的方程f(x)-m=2在x∈π4,π2上有解,求实数m的取值范围例3.已知函数f(x)=(1+1tanx)sin2x-2sinx+π4·sinx-π4.(1)若tanα=2,求f(α);(2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范围.121sin125sin)1(sin7cos15sin8(4)cos7sin15sin880cos60cos40cos20cos)2(课后巩固:)2232cos21212121)5((化简的值域为函数xxxfsin22cos)()3(=tantan,51)sin(,53)sin(6则)已知(检测:1.若tanθ+1tanθ=4,则sin2θ=()A.15B.14C.13D.122.已知sin2α=-2425,α∈-π4,0,则sinα+cosα=()A.-15B.15C.-75D.753.若sinπ4+α=13,则cosπ2-2α等于()A.429B.-429C.79D.-79课堂检测:4.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),则tanα=.5.设α为锐角,若cosα+π6=45,则sin2α+π12的值为________.6.已知A、B、C是△ABC三内角,向量(1,3),m(cos,sin),nAA1mn(1)求角A..tan,3sincos2sin1222CBBB求若)(172538-150311DBD
本文标题:三角恒等变换小结与复习
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