现代数字信号处理---课后答案(姚天任-著)-华中科技大学出版社

第一章），（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为：）（）（）（）（）。概率密度函数为：，（服从正态分布，即、证明：xTxxTTTxxTTTTTxTxNxTTxXxTxxxNxxBBBmNXBBBBmjBBBmjBfftttttttmjtfXmXmXxpmNXX~]21exp[]21exp[]21exp[21exp21~1211212相互独立。与）（）（）（）（），（的联合概率密度函数为，），（的协方差为，的协方差为设、证明：YXYpXpYYXXYXRYXRYXpYXYXERYXCovYXTXTXYXMNTXYTXYMNYXYXTYXNNNN2121exp2121exp2100][221212212。且，则，，则要使））（（则，为常量。，其中设、证明：xTxxxxeexTeeTTxxxxTxxeeTxxxCovmmRRmxaaaaaRaammRamxamxEReeEaamx),(ˆ00min][][ˆ3THy)-)(E[()]ˆ(ˆ[:6.1xHyxxxxxET）（、解][2][][TTTyyHEyxExyEdHd为随机误差。为真实值。其中设iiiiiiiiivcxwxvcxy][][][][TTTTxwExxEwxxExyE）（都是零均值的，与不相关。且与不相关，故与vxxwxv0][][TTwxExwE故][][][][xxExxExwxEyxETTTT）（同理：][][TTyxExyE0][2][2TTyyHExyEdHd故令1][][TTyyExyEH正交化过程：由：解、Schmidt7111y11111221111222][][][][yyyEyyEyEyEy112211122113121113221212211122312111321113131111212121111212111121231113132122231111333]}[][][{][][][][yRRRRRRRRRRyRRRRRRRRyRRyyRRyyRRyEyRRyyEyRRyyEyEEyEy）（）（）（）（1221RR11221112231223212212211122312111323yRRRRRRRRyRRRRRRRRy）原式2112221121132313yyRRRRRRy正交分解定理，有上的单位方向矢量，由、、分别为、、设：解、32032081yyyeee11111000][][yyyEyyEeyTT得由Ay11111221211111102202221210222][][][][yyyEyyEeyayyyEyyEaeayyayaTTTT故有,12y11111202][][yyyEyyEeyTT代入上式得0][][][][121121102212yyEyyEayyEayETTT20222eea0][,},,{},,{0220100102TTTTTeEeyyeyy即故22100022][][aeeEeeEyT33100033][][,aeeEeeEyT同理1,1ˆ9110NkyyNkRkNnnknYY）（取样自相关：解、1510ˆ40nnnYYyyR）（8.0511ˆ301nnnYYyyR）（6.0512ˆ202nnnYYyyR）（4.0513ˆ103nnnYYyyR）（2.0514ˆ04yyRYY）（4,,1,.0]2.0,4.0,6.0,8.0,1[ˆmmRYY）（]2342345[51)ˆ)ˆ)(ˆ43243214411zzzzzzzzzkRzkRzSkkYYNNkkYYYY（（）（）后输出（经则其自相关函数为一零阶马尔可夫）（证明：设：解、zYzBzXmmRPRnxx)()()(,.}{1012变换有，），对此式做递（）（）（）化简为（）（）（则zzaYzzYzzXzBzXzY）（）（）（，有），令（）（）（1111naYnYnXnknaYnYnX)()]1()1[][2mmRmRamRmnXnXEmRYYYxx（）（）（）（）（)]1()1([)()(2mRmRammRYYY即为一阶马尔可夫过程。由此可见)}({,nY。，，，，为最小相位序列，则有）（：解、Miznxi3211111使）为最小相位序列，即（），要使（）（变换的性质由zYazXzYZ11*azazzzYkkk成立，即）的所有零点（MkMkzza},2,1{max即）对应的所有的零点（）、（变换为最小相位序列，则其）（）、（设：解、zYzXZnynx121。，，，，，都在单位圆内，其中，MkNiZZiyix2121），其零点的集合（）（）（），有（）（）（令zYzXzZnynxnz*.12121成立必有，，，，，，nznzkyixzZZMkZNiZZ则）为两最小相位序列，（、设证明zBzA)(:13.1）（）（），（）（设BkMkAiNizzbzBzzazA101011〈，〈BiAizz）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（，，zgzzzzbzzazzzzbzzazBzAzCCjQjBkMjkkAiNiiCjQjBkMkAiNi1101011010MkZNiZZBkAiCj，，，，，，其中2121则不是。）为最小单位序列，否（内，则）的所有零点在单位圆（显然，若zczg相位序列。亦为最小且为最小相位序列其中举例)15(61,,)31)(21()15(61)31)(21(22zzzzzzzz为非最小相位序列。其中)2)(21()32(23)2)(21(2zzzzzzNnnnhnhParsval0202min141）（）（等式知，由：证明、能量集中）具有最小时延性，其（）是最小相位序列，故（nhnhminmin）（）（）（）（在序列初始阶段，所以00,min22minhhnhnh由谱分解定理知：分解。））（（）（率谱用谱分解定理对有理功：解、18.018.0136.01511zzzSxx18.018.0136.08.018.01]1][1[111212））（（））（（）（）（）（zzzzazazzBzBzSxx6.15.02a解得））（（））（（）（zzzzzzzSxx8.018.01)5.01)(5.01(6.118.018.0136.01111161）（）（）（）（：解、zSzSzSzSxxVVxxYY的输出）（）激励系统（），相当于（）（）（由16.0116.01zzBnwnwnxnx））（（）（）（）（）（故zzzBzBnwZzSxx6.016.0182.0][11））（（））（（））（（）（zzazazzzzzzzzSYY6.016.01]1][1[6.016.016.06.018.216.016.0182.011211123.06.018.212222aaa解得）（））（（））（（）（zzzzzSYY6.016.013.013.01211为随机矢量的新息表达式：解、171321323121321101001bbbyyy）（）（其中01][][][][1121111121111221YYYYRRRRyyEyyEEyEb）（）（02][][11311111331YYYYRRRREyEb2211132121122312121132111211221211321221111312132121221212123111122122][][][RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRybyybyEybyyEEyEb））（（！现代数字信号处理习题答案第二章2．1已知x是一平稳随机信号，取1、0、-1三个值的概率相等。用x对载波进行调制后在噪声信道中传输。接受信号为)(ncMnnvnxcny,,1,0),()()(式中是方差为)(nv2v的零均值白色高斯噪声，与x相互独立。上式用矢量表示为vcxy（1）求条件概率函数)/()/(xyfyxf和。（2）由y求x的四种估计：最大后验概率估计xMAPˆ，最大似然估计xMLˆ，最小均方误差估计xMSˆ，最小线性均方误差估计xLMSˆ。并用图形对它们进行比较。解：（1）先求)/(xyf，显然在这种情况下，y是一个1M的正态随机矢量，,][/cxvcxEmxyImmMvTTTxyxyxyvvEcxvcxcxvcxEyyE12///][]))([(]))([()]()(1exp[)2()](1)(21exp[][)2(1)/(222/)1(21221)1(221cxycxycxycxyvxyfTvMvMvTMMI求)/(yxf。)/(yxP=)()()/()(),(yfxPxyfyfyxf已知)1(31)(31)1(31)(xxxxP简记)/()/(ayfaxyf1根据全概率公式，得：)]1/()0/()1/([31)1()1/()0()0/()1()1/()()(xyYPxyYPxyYPxPxyYPxPxyYPxPxyYPyYPyF)]1/()0/()1/([31)()(yfyfyfydydFyf记)1/()0/()1/(ˆyfyfyfA，则AyfyxPAyfyxPAyfAyfyxP)1/()/1(,)0/()/0()1/(31)1/(31)/1(同理：由)/(yxP的分布律，我们可以容易得到)/(yxfAxyfxyfxyfyxf/)]1()1/()()0/()1()1/([)/(（2）求最大似然估计xMLˆ已知：0ˆ)/(ln(xxxyfMLxyccycccxycccxycxycxcxycxyxcxycxyTTMLTTvTTvTvTvMvxˆ0)(1])()([21)]()(21[)]}()(21exp[)2ln{(ˆ2222212解得：2求最小均方误差估计xMSˆ)2(2)2(2]2exp[