必修1-第一章-专题突破-运动图象---追及相遇问题

专题突破运动图象追及相遇问题运动图象的理解及应用1.分析图象问题时应注意“六看”一看“轴”x－t图象纵轴表示位移v－t图象纵轴表示速度二看“线”x－t图象中倾斜直线表示匀速直线运动v－t图象中倾斜直线表示匀变速直线运动三看“斜率”x－t图象中斜率表示速度v－t图象中斜率表示加速度四看“面积”v－t图象中图线和时间轴围成的“面积”表示位移五看“纵截距”x－t图象表示初位置v－t图象表示初速度六看“特殊点”拐点（转折点）：一般表示从一种运动变为另一种运动交点：在x－t图象上表示相遇，在v－t图象上表示速度相等2.几种非常规图象的理解(1)a－t图象：由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示；(2)a－x图象：由v2－v20＝2ax可知图象与横轴所围面积表示v2－v202，如图乙所示；(3)xt－t图象：由x＝v0t＋12at2可得xt＝v0＋12at，图象的斜率为12a，如图丙所示。(4)v2－x图象：由v2－v20＝2ax可知v2＝v20＋2ax，图象斜率为2a。(5)v－x图象：由v2－v20＝2ax可得v＝v20＋2ax，图象为曲线。命题角度1图象选择类依据某一物理过程，设计某一物理量随时间(或位移、高度、速度等)变化的几个图象或此物理过程中某几个物理量随某一量的变化图象，从中判断其正误。【例1】(2016·江苏单科)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是()解析由运动学公式可得小球与地面碰撞后速度v与位置x的关系为v＝v20－2gx，从最高点下落时二者的关系为v＝－2g（x0－x），对比图象可知A正确。答案A解决该类问题一般依据物理过程，运用对应规律，实现公式与图象之间的转化确定某物理量的变化情况，从而确定选项的正确与否。命题角度2图象信息类这类问题是对某一物理情景给出某一物理量的具体变化图象，由图象提取相关信息或将图象反映的物理过程“还原”成数学表达式形式从而对问题做出分析判断作答。【例2】物体做直线运动的v－t图象如图1所示，则该物体()图1A.第1s内和第5s内的运动方向相反B.第2s内和第6s内的加速度相同C.0～2s和0～4s内的平均速度大小相等D.在0～6s内，物体的位移大小为30m解析由题图知，在前5s内物体的速度一直为正值，说明在前5s内物体的运动方向一直不变，故A项错误；由速度－时间图象的斜率等于加速度，根据题图可知，第2s内加速度为正，第6s内加速度为负，方向相反，加速度不同，故B项错误；由图象与时间轴所围的面积表示位移，平均速度等于位移除以时间，则0～4s内平均速度大小v－1＝x1t1＝12×2×10＋10×24m/s＝7.5m/s，0～2s内的平均速度大小v－2＝x2t2＝12×2×102m/s＝5m/s，大小不相等，故C项错误；根据“面积”可知：在0～6s内，物体的位移大小为x＝12×2×10m＋10×2m＝30m，故D项正确。答案D命题角度3图象转化类【例3】(2019·阜宁中学调研)一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图2所示。取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是()图2解析根据加速度随时间变化的图象可得，0～1s为匀加速直线运动，第一秒末的速度v1＝at1＝1m/s，速度为正方向，选项D错误；1～2s加速度变为负值，而速度为正方向，因此做匀减速直线运动，第二秒末，速度v2＝v1－at2＝1m/s－1×1m/s＝0，选项B错误；2～3s，加速度为正方向，初速度为0，物体做正方向的匀加速直线运动，即从第二秒开始又重复前面的运动，选项C正确，A错误。答案C命题角度4应用图象巧解题【例4】(2018·江苏南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁市高三第二次调研)一辆公交车在平直的公路上从A站出发运动至B站停止，经历了匀加速、匀速、匀减速三个过程，设加速和减速过程的加速度大小分别为a1、a2，匀速过程的速度大小为v，则()A.增大a1，保持a2、v不变，加速过程的平均速度不变B.减小a1，保持a2、v不变，匀速运动过程的时间将变长C.增大v，保持a1、a2不变，全程时间变长D.只要v不变，不论a1、a2如何变化，全程平均速度不变解析匀变速运动的平均速度为v－＝v0＋v2，则加速运动过程的平均速度等于v2，v不变，则加速过程的平均速度不变，故A项正确；匀加速、匀速、匀减速三个过程的位移分别为x1＝12vt1、x2＝vt2、x3＝12vt3，如果减小a1，保持a2、v不变，则加速过程的时间t1＝va1将增大，加速过程的位移x1增大，而减速的时间和位移不变，所以匀速的位移将减小，匀速的时间减小，故B项错误；作出物体运动的速度图象如图甲所示，增大v，保持a1、a2不变，由于总位移不变，所以运动的时间将减小，故C项错误；同理如图乙所示，v不变，a1、a2变化，则全程的时间将会发生变化，全程平均速度变化，故D项错误。答案A追及与相遇问题讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。1.抓住一个条件，两个关系(1)一个条件：二者速度相等。它往往是能否追上或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。(2)两个关系：即时间关系和位移关系。可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解题的突破口。2.能否追上的判断方法常见情形：(如图3所示)物体A追物体B，开始二者相距x0，则(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。图3(2)要使两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA≤vB。命题角度1与运动图象相结合的追及相遇问题【例5】(2019·南京学情调研)如图4，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置－时间(x－t)图线。由图可知()图4A.在时刻t1，a车追上b车B.在时刻t2，a、b两车运动方向相同C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增加D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大解析从x－t图象可以看出，在t1时刻，b车追上a车，选项A错误；在t2时刻，b车运动图象的斜率为负值，表示b车速度反向，而a车速度大小和方向始终不变，选项B错误；从t1时刻到t2时刻，图象b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b车的速率先减小至零后增加，选项C正确，D错误。答案C【例6】(2018·高邮中学阶段检测)a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动，二者运动的v－t图象如图5所示，下列说法正确的是()图5A.a、b两物体运动方向相反B.a物体的加速度小于b物体的加速度C.t＝1s时两物体的间距等于t＝3s时两物体的间距D.t＝3s时，a、b两物体相遇解析由题图可知a、b两物体的速度均为正值，则a、b两物体运动方向相同，A项错误；因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则a的加速度大于b的加速度，B项错误；v－t图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移，因为t＝1s到t＝3s，a图线和b图线与t轴所围的面积相等，即此时间段两物体位移相同，则t＝1s时两物体的间距等于t＝3s时两物体的间距，C项正确；由题图可知t＝3s时，xb＞xa，又a和b同时、同地出发，同向运动，所以t＝3s时，b在a前方，D项错误。答案C命题角度2联系生活实际的追及问题【例7】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。(可用多种方法)解析两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示，现用三种方法解答如下：法一分析法利用位移公式、速度公式求解，对A车有xA＝v0t＋12(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t对B车有xB＝12at2，vB＝at两车位移关系有x＝xA－xB追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB联立以上各式解得v0＝6ax故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax。法二函数法利用判别式求解，由解法一可知xA＝x＋xB，即v0t＋12(－2a)t2＝x＋12at2整理得3at2－2v0t＋2x＝0这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x＝0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax。法三图象法利用v－t图象求解，先作A、B两车的v－t图象，如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at对B车有vB＝v′＝at以上两式联立解得t＝v03a经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x＝12v0t＝12v0·v03a＝v206a所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax。答案v0≤6ax1.解决追及问题要牢记“一个思维流程”2.掌握“三种分析方法”：分析法、极值法、图象法。科学思维的拓展——应用速度图象解决变速类问题1.对于实际问题在无法运用物理公式解答的情况下，用图象法则会使思路豁然开朗。2.运用图象法时，要结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量。【典例】如图6所示，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间()图6A.p小球先到B.q小球先到C.两小球同时到D.无法确定解析可以利用v－t图象(这里的v是速率，曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较。在同一个v－t图象中做出p、q的速率图线，显然开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即曲线末端在同一水平线上。为使路程相同(曲线和横轴所围的面积相同)，显然q用的时间较少，q小球先到，选项B正确。答案B【变式训练】(多选)如图7所示，质量相同的木块A、B用轻质弹簧连接。静止在光滑的水平面上，此时弹簧处于自然状态。现用水平恒力F推A，则从力F开始作用到弹簧第一次被压缩到最短的过程中()图7A.弹簧压缩到最短时，两木块的速度相同B.弹簧压缩到最短时，两木块的加速度相同C.两木块速度相同时，加速度aA＜aBD.两木块加速度相同时，速度vA＞vB解析从力F开始作用到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，对两木块运动过程分析可知，A做加速度减小的加速运动，B做加速度增大的加速运动，只要A的速度大于B的速度弹簧就处于被压缩变短的过程中，则两木块速度相同时弹簧压缩到最短，画出这一过程A、B两木块的v－t图象，则t1时刻，A、B两木块的加速度相同(切线斜率相同)，且vA＞vB，t2时刻A、B两木块的速度相同，且aB＞aA，综上，选项A、C、D正确，B错误。答案ACD1.(2019·淮安高三期末)(多选)在地面上某处将一金属小球竖直向上抛出，上升一定高度后再落回原处，若不考虑空气阻力，则下列图象能正确反映小球的速度、加速度、位移和速率随时间变化关系的是(取向上为正方向)()解析金属小球竖直向上抛出，空气阻力忽略不计，只受重力，做竖直上抛运动，上升和下降过程加速度大小和方向都不变，故做匀变速直线运动，故选项A正确，B错误；根据位移—时间公式，有x＝v0t＋12at2，则位移—时间图象是抛物线，故选项C错误；小球做竖直上抛运动，上升过程，速率均匀减小，下降过程，速率均匀增大，故选项D正确。答案AD2.(2018·镇江市高三第一次模拟)甲、乙、丙、丁四辆小车从同一地点向同一方向运动的图象如图8所示，下列说法正确的是()图8A.甲车做直线运动，乙车做曲线运动B.在0～t1时间内，甲车平均速度小于乙车平均速度C.在0