等差数列常考题型归纳总结很全面

快乐每一天，收获多一点。第1页共7页等差数列及其前n项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。知识回顾：1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为)2(1ndaann或)1(1ndaann。（证明数列是等差数列的关键）2．通项公式：等差数列的通项为：dnaan)1(1，当0d时，na是关于n的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：dmnaamn)(3．中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；其中2abA。4．等差数列的前n项和公式11()(1)22nnnaannSnad可以整理成Sn＝2dn2＋nda)2(1。当d≠0时是n的一个常数项为0的二次函数。5．等差数列项的性质（1）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；特别的，若m，p，qN且qpm2，则qpmaaa2。（2）已知数列nnba,为等差数列，nnTS,为其前n项和，则1212nnnnTSba（3）若等差数列的前n项和为nS，则,,,232nnnnnSSSSS也成等差数列，公差dnd2'；（4）)2(n,)1(n,11nnnSSSa；（5）若数列{na}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为______。快乐每一天，收获多一点。第2页共7页考点分析考点一：等差数列基本量计算例1、等差数列{}na中，18153120aaa，则9113aa的值为练习（1）设nS是等差数列na的前n项和．已知2a＝3，6a＝11，则7S等于A．13B．35C．49D．63（2）数列na为等差数列，且7421aa，03a，则公差d＝A．－2B．－12C．12D．2（3）在等差数列na中，已知32a，则该数列的前5项之和为A．10B．16C．20D．32（4）若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A．12B．13C．14D．15（5）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()A．16B．24C．36D．48（6）na的前n项和为nS，若21a，123S，则6a等于()A．8B．10C．12D．14考点二：等差数列性质应用例1、等差数列na中，24)(2)(31310753aaaaa，则该数列前13项的和是()A．13B．26C．52D．156练习1、在等差数列na中，1910aa，则5a的值为A．5B．6C．8D．642、在等差数列{}na中,1352,10aaa，则7a（）A．5B．8C．10D．143、设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()快乐每一天，收获多一点。第3页共7页A．14B．21C．28D．35例2、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27练习、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.例3、已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2016＝________.练习、(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B．1C．2D．3例4、设nnTS,分别是等差数列na、nb的前n项和，327nnTSnn，则55ba。例5、已知等差数列na的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________。练习1、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项2、等差数列na的公差2d，1479750aaaa，那么36999aaaa=A．－78B．－82C．－148D．－182考点三：等差数列的证明例1：在数列{}na中，11a，1114nnaa，221nnba，其中*.nN（1）求证：数列{}nb是等差数列；（2）求证：在数列{}na中对于任意的*nN，都有1nnaa快乐每一天，收获多一点。第4页共7页练习1、数列na满足22211221nnnaaaaa，，。（1）设nnnaab1，证明nb是等差数列；（2）求数列na的通项公式。2、已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列；3、数列na满足：21a，Nnaaannn，221。求证：na1是等差数列；小结与拓展：（1）定义法：daann1（Nn，d是常数）na是等差数列；（2）中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列；（3）通项公式法：bknan（bk,是常数）na是等差数列；（4）前n项和法：Sn＝2kn＋bn（bk,是常数）na是等差数列考点四：等差数列前n项和的最值快乐每一天，收获多一点。第5页共7页（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：①若已知nS，可用二次函数最值的求法（nN）；②找到正负项分界的是第几项。例1、数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最大值时，n练习1、设等差数列na的前n项和为nS，若111a，466aa，则当nS取最小值时n等于()A．6B．7C．8D．92、若等差数列na满足7890aaa，890aa，则当n________时na的前n项和最大。例2、在等差数列na中，71a，公差为d，前n项和为nS，当且仅当n＝8时，nS取得最大值，则d的取值范围为________。例3、等差数列na中，01a，前n项和为nS，且仅当125SS,则当n时，nS取最大值。练习1、设数列na是等差数列，且28a，155a，nS是数列na的前n项和，则（）A．1011SSB．1011SSC．910SSD．910SS2．设)(Nnan是等差数列，Sn是其前n项的和，且87665,SSSSS则下列结论错．误．的是（）A．0dB.．07aC．59SSD．S6与S7均为Sn的最大值考点五：等差数列和项转换)2()1(11nSSnaannn例1、已知数列na的前n项和为nnSn212，求na。练习1、已知数列na的前n项和为22nSn，求na。快乐每一天，收获多一点。第6页共7页2、设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（）A．15B．16C．49D．64习题15.21、在等差数列na中，（1）已知nanda求,10,3,21；（2）已知ndaan求,2,21,31；（3）已知daa求,27,1261；（4）已知17,8,31aad求。2、在等差数列{na}中，（1）已知81248,168SS，求1,a和d（2）已知6510,5aS，求8a和8S（3）,599,54,201nnSaa求d及n；（4）nnaaSnd及求1,629,37,31；（5）nnanSda及求,5,61,651；（6）nnSaand及求1,10,15,2。3、等差数列{}na的前n项和记为nS，已知102030,50aa。（1）求通项公式{}na；快乐每一天，收获多一点。第7页共7页（2）若242nS，求n。4、设nS为等差数列{}na的前n项和，若36324SS，，则9a5、等差数列{}na的前n项和nS，若132,12aS，则6a()A．8B．10C．12D．146、已知道单调递增的等差数列na的前三项和为21，前三项积为231，则na7、在等差数列na中，1205a，则8642aaaa8、数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最大值时，n9、数列na是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列的公差；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当0nS时，求n的最大值。