2012年全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案四、二次函数1．（北京）已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋32在x＝0和x＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．解：（1）由题意得(t＋1)·22＋2(t＋2)·2＋32＝32解得t＝－32∴二次函数的解析式为y＝－12x2＋x＋32（2）∵A（－3，m）在二次函数y＝－12x2＋x＋32的图象上∴m＝－12×(－3)2＋(－3)＋32＝－6∴点A的坐标为（－3，－6）∵点A在一次函数y＝kx＋6的图象上∴－6＝－3k＋6，∴k＝4（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0）平移后，点B，C的对应点分别为B′（－1－n，0），C′（3－n，0）将直线y＝4x＋6平移后得到直线y＝4x＋6＋n如图1，当直线y＝4x＋6＋n经过点B′（－1－n，0）时，图象G（点B′除外）在该直线右侧由0＝4(－1－n)＋6＋n，得n＝23如图2，当直线y＝4x＋6＋n经过点C′（3－n，0）时，图象G（点C′除外）在该直线左侧由0＝4(3－n)＋6＋n，得n＝6∴由图象可知，符合题意的n的取值范围是23≤n≤6xOy111OCBxyB′图11OCBxyC′图22．（北京模拟）已知抛物线y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．（1）证明：∵△＝(m－2)2－4×(－1)×3(m＋1)＝(m＋4)2≥0∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点（2）解：由题意，m＋1＜0当m＝－4，图象与x轴只有一个交点∴m＜－1且m≠-4（3）解：令y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)解得x1＝m＋1，x2＝－3可求得顶点P（m－22，(m＋4)24）①当A（m＋1，0）、B（－3，0）时∵S△PAO＝S△ABC，∴12(m＋1)×(m＋4)24＝12(－m－4)×3(m＋1)解得m＝－16∴y＝－x2－18x－45②当A（－3，0）、B（m＋1，0）时同理得12×3×(m＋4)24＝12(m＋4)×[－3(m＋1)]解得m＝－85∴y＝－x2－85x－953．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象经过点A（－1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO＝∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．yxOAB11-1-1OCBxyA（1）解：由题意，得1＝－13＋b＋c2＝－43＋2b＋c解得b＝23c＝2∴二次函数的解析式为y＝－13x2＋23x＋2对称轴为直线x＝1（2）证明：易得直线OA的解析式为y＝－x，从而C的坐标为（1，－1）∵由A（－1，1），B（2，2），C（1，－1）得AB＝BC＝10，OA＝OC＝2∴∠ABO=∠CBO（3）解：由直线OB的表达式y＝x，得点D的坐标为（1，1）由A（－1，1），B（2，2），得直线AB的解析式为y＝13x＋43从而直线AB与x轴的交点E的坐标为（－4，0）∵△POB∽△BCD相似，∠ABO＝∠CBO∴∠BOP＝∠BDC或∠BOP＝∠BCD①当∠BOP＝∠BDC时由∠BDC＝135°，得∠BOP＝135°此时点P与点E重合∴点P的坐标为（－4，0）②当∠BOP＝∠BCD时由△POB∽△BCD，得BPBO＝BDBC而BO＝22，BD＝2，BC＝10，∴BP＝2510又∵BE＝210，∴PE＝8510作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F则PH∥BF，∴PHBF＝PEBE＝EHEF．而BF＝2，EF＝6，∴PH＝85，EH＝245，∴OH＝45∴点P的坐标为（45，85）综上所述，点P的坐标为（－4，0）或（45，85）4．（安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a(x－6)2＋h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．yxOAB11-1-1PEDCFH解：（1）当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6由其图象过点（0，2），得36a＋2.6＝2，解得a＝－160∴y＝－160(x－6)2＋2.6（2）当h＝2.6时，由（1）知y＝－160(x－6)2＋2.6由于当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网由－160(x－6)2＋2.6＝0，x＞0，得x＝6＋156＞18或由x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球落地时会出界（3）根据题设知y＝a(x－6)2＋h由图象经过点（0，2），得36a＋h＝2①由球能越过球网，得9a＋h＞2.43②由球不出边界，得144a＋h≤0③解得h≥83，所以h的取值范围是h≥835．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x2－2mx＋1．记当x＝c时，相应的函数值为yc，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b，总有ya＋yb≥1．如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：设f(x)在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，即M≥12二次函数y＝x2－2mx＋1的图象是一条开口向上的抛物线①当对称轴x＝m≤0时，由图象可知，x＝0时，y最小＝1，此时1≥12成立②当对称轴x＝m在0＜m＜1时，由图象可知x＝m时，y最小且y最小＝1－m2此时有1－m2≥12，即m2≤12，故有0＜m≤22③当对称轴x＝m在m≥1时，由图象可知，x＝1时，y最小且y最小＝2－2m此时有2－2m≥12，即m≤34，与m≥1矛盾，故舍去综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤226．（浙江模拟）已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2．（1）证明：不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2的顶点P总在x轴的下方；xOyA26918球网边界（2）设抛物线y＝x2＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于14的抛物线有几条？请证明你的结论．解：（1）∵判别式△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0∴抛物线与x轴总有两个交点又∵抛物线开口向上，∴抛物线的顶点在x轴下方（或由二次函数解析式得：y＝(x＋a2)2－14a2＋a－2∵抛物线顶点的纵坐标为－14a2＋a－2＝－[14(a－2)2＋1]＜0，当a取任何实数时总成立∴不论a取何值，抛物线的顶点P总在x轴的下方）（2）由条件得：抛物线顶点Q(－a2，－14a2＋a－2)，点C(0，a－2)当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D此时CD＝|－a|，点Q到CD的距离为|(a－2)－(－14a2＋a－2)＝14a2过Q作QP⊥CD于P要使△QCD为等边三角形，则需OP＝32CD，即14a2＝32|－a|由a≠0，解得a＝±23（或由CD＝CQ，或由CP＝12CO等求得a的值）∴△QCD可以是等边三角形此时相应的二次函数解析式为y＝x2＋23x＋23－2或y＝x2－23x－23－2（3）∵CD＝|－a|，点A到CD的距离为＝|a－2|由S△ACD＝12|a(a－2)|＝14，解得a＝1±22或a＝1±62∴满足条件的抛物线有四条7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t＝2时，抛物线y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)的顶点坐标为____________；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为____________．【应用1】二次函数y＝－3x2＋5x＋2是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．解：[尝试]（1）（1，－2）（2）将x＝2代入y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)，得y＝0，所以点A（2，0）在抛物线E上（3）将x＝－1代入n＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)＝6[发现]A（2，0），B（－1，6）[应用1]∵x＝－1代入y＝－3x2＋5x＋2，计算得y＝－6≠6∴抛物线y＝－3x2＋5x＋2不经过点B∴二次函数y＝－3x2＋5x＋2不是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”[应用2]]如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点B作RM⊥x轴于点M易得AM＝3，BM＝6，BK＝1，△KBC1∽△MBA则AMBM＝C1KBK，即36＝C1K1，求得C1K＝12，∴点C1（0，132）易知△KBC1≌△GAD1，得AG＝1，D1G＝12，∴点D1（3，12）易知△OAD2∽△GAD1，得D1GOD2＝AGOA由AG＝1，OA＝2，D1G＝12，求得OD2＝1，∴点D2（0，－1）易知△TBC2≌△OD2A，得TC2＝AO＝2，BT＝OD2＝1，∴点C2（－3，5）∵抛物线E总过定点A（2，0），B（－1，6）∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0，132）代入y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)，求得t1＝－54当抛物线E经过A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2时，可分别求得t2＝58，t3＝－12，t4＝52∴满足条件的所有t的值为：－54，58，－12，528．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y（千米）与飞行的水平距离x（千米）满足关系式y＝kx－120(1＋k2)x2（k＞0），其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．Ox(千米)y(千米)OA11xyOGD1D2AMC1C2BKTH11xy解：（1）令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0∴x＝20k1＋k2＝201k＋k≤202＝10，当且