《相似》知识点总结及经验

相似一、相似知识点：1、相似的判定：①相似多边形的判定；②相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′；2、平行线分线段成比例定理3、相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′的5种方式4、相似三角形的周长与面积：①周长（及对应的高）相似比等于K；②面积相似比等于K25、位似：①位似图形的判定②利用位似，将一个图形放大或缩小③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K或－K二、相似图形的特征：1、相似比例的多项式动算（主要是分式）：2、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：一、相似知识点：1、相似的判定，如图：①相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的判定：在△ABC和△A′B′C′中，如果：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，''BAAB＝''CBBC＝''CAAC＝k，（AB＝k.A′B′，BC＝k.B′C′，AC＝k.A′C′）则：△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为k1。2、平行线分线段成比例定理，如图：（3l，4l，5l的距离决定k的大小）①平行线分线段成比例定理：如右图3l∥4l∥5l，则：EFDEBCAB＝k1，kDFDEACAB2，kDFEFACBC3，②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段的比相等，如右图：kACAEABAD3、相似三角形的判定：（只要是相似三角形，就可以按对应角的安装在一起)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如图：△ADE∽△ABC②类似SSS：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；在△ABC和△A′B′C′中，如果''BAAB＝''CBBC＝''CAAC＝k，那么：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k；③类似SAS：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；在△ABC和△A′B′C′中，如果''BAAB＝''CAAC＝k，∠A＝∠A′，那么：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k；④AA方式：如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似；在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，那么：△ABC∽△A′B′C′；例a：两个等腰三角形的任一个角相等（无论底角或顶角），那么这两个三角形相似；例b：Rt△ABC斜边上的高将三角形分成三个三角形，都相似；例c：一次函数y=k.x，（k为定值），由x，y，斜边组成的三角形，无论x为何值，所有的三角形都相似；⑤类似HL：斜边的比等于一组直角边的比的直角三角形相似；（不当成定理）。4、相似三角形的周长，对应高与面积：①周长比：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么''BAAB＝''CBBC＝''CAAC＝k，因此：AB＝k.A′B′，BC＝k.B′C′，AC＝k.A′C′，从而''''''ACCBBACABCAB＝''''''''''''ACCBBAAkCCkBBkA＝k由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；②对应高比：相似三角形对应高的比等于相似比；如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′分别是边BC，B′C′上的高，那么''DAAD＝''BAAB＝k③面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方；如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′分别是边BC，B′C′上的高，那么S△ABC／S△A′B′C′＝'''.'21.21DACBADBC＝''CBBC.''DAAD＝k.k＝k２；5、位似，如图：（只要是相似三角形，就可以相应的安装成位似的形式）图（1）图（2）图（3）①位似图形的判定：a、两个多边形（包括三角形）相似，如图（1）的ABCD∽A′B′C′D′；b、图形的对应顶点的连线相交于一点：如图（1）、（2）、（3）的位似中心点O；c、对应边互相平行，如图（1）AB∥A′B′，AD∥A′D′等；d、位似图形存在三种形式：取决于位似中心点O的位置，同侧，中间，两侧，如图：②利用位似，将一个图形放大或缩小：a、如图（1），首先任取一点O作位似中心点（可取同侧，中间，两侧），根据K值的大小分别定各个相似点，具体参考课本；b、如图（2）、（3），通过坐标轴将图形放大或缩小，具体参考课本；③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K或－K，（同侧为K，两侧为－K）如图（3）：同侧：线段AB与A′B′位似，''BAAB＝'OBOB＝'AAXX＝'AAYY＝k；两侧：线段AB与A″B″位似，BAAB＝OBOB＝k′，'kYYXXAAAA；如图（2）：△ABC与△A′B′C′位似，相似比为k，原点为位似中心点O，则：△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，那么：kYYXXOAOAAAAA'''，kYYXXOBOBBBBB'''，kYYXXOCOCCCCC'''还有：kCBBCCAACBAABOCOCOBOBOAOA'''''''''二、相似图形的特征：1、相似比例的多项式动算（主要是分式）：①已知：ba＝dc＝k，（例如：32,32baba等），则以下的等式成立：a、ddcbba＝k+1；ddcbba＝k－1；11kkdcdcbaba；b、cdab＝k1；kkkcdcaba111；c、（ba）2＝（dc）2＝k2；kdcba（k＞0）；d、bkadkc，dbca＝dbdkbk..＝k，即：ba＝dc＝dbca＝dbca＝ke、cbda..；dbca；ba×dc＝k2；ba÷dc＝ba×cd＝k×k1＝1②应用比例进行运算：例a：已知32ba，求：bba，baba，baba.3.2解法1、（奥数法）∵32ba，假设3,2ba，代入以上各式：bba＝31332，baba＝53232，baba.3.2＝－1解法2、设32ba＝k，则kbka.3,.2，代入以上各式，（略）解法3、∵32ba，∴32ba＝k，∴bba＝k－1＝32－1＝－31∴baba＝11kk＝－5，baba.3.2＝31.2baba＝－12、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：①平行线分线段成比例的几种形式，及之间的相互转换关系：如右图：3l∥4l∥5l，可以得到EFDEBCAB，另还有：DEEFABBC，DFDEACAB，DFEFACBC，等等，根据多项式运算可相互转换；比例关系的转换举例：∵EFDEBCAB，∴DEEFABBC，∴DEDEEFABABBC，即：DEDFABAC，∴DFDEACAB上面的比例关系也适用于右图：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等；②成比例线段的形式及相关计算：例a：如右图，线段AB＝10cm，，，则CD＝________cm。∵，∴CBCBAC＝23＋1＝25，即：CBAB＝25∵AB＝10cm，∴CB10＝25，CB＝4，∵，∴BDBDAD＝23－1＝21，即：BDAB＝21，∵AB＝10cm，∴BD10＝21，BD＝20，∴CD＝CB＋BD＝24例b：如右图，3l∥4l∥5l，DE＝2cm，EF＝3cm，MBAM＝23，N是AC的中点，求：ANAM＝________cm。由MBAM＝23ABAM＝53，AM＝53AB由N是AC的中点，AN＝21AC，∵DE＝2cm，EF＝3cm，ACAB＝52∴ANAM＝(53AB)／(21AC)＝53×2×ACAB＝53×2×52＝2512例c：如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，G是AC上一点，，连EC延长交AD于F，求FADF的值。解：过点E作EH平行于AD，交AC于点H⑴求出GHAG的值，再求FADA的值，③组合图形中线段比例的引用，进行相关的证明及计算：例a：如图，△ABC中，AD＝2DC，G是BD中点，AC延长线交BC于E，求ECBE的值。解：过点D作DF平衡于BC，交AE于点F，⑴证明△DGF≌△BEGDF＝BE⑵求ECDF的值，（DF与BE存在数量关系，被BE引用）例b：如右图所示，△ABC中，EF∥BC，FD∥AB，AE＝18，BE＝12，CD＝14，求线段EF的长。例c：如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE∥CA，CD＝12，BD＝15，求线段AE、BE的长。解：⑴证明AE＝ED；⑵求AB＝49AE，AC＝59ED＝59AE；⑶AB2－AC2＝BC2＝272；例d：如图，△ABC中，∠C＝90°，DEFC是内接正方形，BC＝4cm，AC＝3cm，则正方形面积为_______cm2。3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：①相似三角形在几何组合图形内的存在形式：⑴平行线内相交的三角形：基本形式，由平行线转化而来；例a：如图ABCD是平行四边形，图中相似三角形（包括全等的）有：（6对）⑵一角重叠，另一角相等，或重叠角的对应边平行：如图∠A重叠，左图∠ACD＝∠B，△ABC∽△ACD右图DE∥BC，△ABC∽△ADE⑶直角三角形的斜边上的高分割成三个相似三角形：如图：△ABC∽△ADC∽△BCD⑷圆内相交两弦形成的三角形相似；如图：△ABO∽△CDO⑸组合图形中，由题目的已知，及含有的平行线，等边，等腰，直角三角形，平行四边形等的配合，形成的三角形相似；例a：如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形是：△DOB∽△ABE∽△COE∽△ACD例b：如图，已知矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，E为DC中点，AF⊥BE于点F，求AF长。解：可证明△BCE∽△ABF，BEABBCAF，BEABBCAF例c：如图，ABCD是平行四边形，点E在边BA延长线上，连CE交AD于点F，∠ECA＝∠D，求证：AC·BE＝CE·AD。解：∵∠ECA＝∠D，∠D＝∠B可证明△ACE∽△ABC，BECEBCAC，即AC·BE＝CE·BC，BC＝AD⑹组合图形中，隐藏的已知，需添加辅助线形成相似三角形；例a：［二、2、②例c：（略）］例b：［二、2、③例a：（略）］②组合图形中，利用相似，比例进行证明及计算：（略）