相似三角形的判定及习题精讲(含答案)

相似三角形的判定（一）填空：1．若3x-7y=0,则y∶x=_______,=________。2．若a=7,b=4,c=5,则b,a,c的第四比例项d=_______。3．若线段a=4,b=6,则a,b的比例中项为________。4．已知：===,则=______，=_________。5．已知：a∶b∶c=3∶4∶5,a+b-c=4,则4a+2b-3c=________。6．若=,则x=_______。7．已知：ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，AB=10，AD-DB=2，BC=9，则DE=________。8．已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=________，AC=_________。9．ΔABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=3，BC=4，则CD=_______，AD=_________，BD=_________。10．ΔABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD是角平分线交AC于D，则CD=_________。11．等边三角形的边长为a，则它的内接正方形的边长为_________。12．ΔABC中，DE//BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB=5∶4，则S梯形BCED∶SΔADE=________。13．两个相似多边形面积比是1∶3，则周长比是_______。14．两个相似多边形的面积比为25∶9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为_________。15．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。（二）选择题：1．在ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，若四边形DECB的面积为ΔADE面积的3倍，则DE∶BC=（）A、1∶3B、1∶9C、3∶1D、1∶22．如图，在ΔABC中=，=，设AD与CE的交点为P，则CP∶PE=（）。A、5∶1B、4∶1C、3∶1D、5∶23．一个直角三角形两条直角边之比是1∶2，则它们在斜边上射影的比是（）A、1∶B、1∶C、1∶4D、1∶54．ΔABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列式子中错误的是（）A、AD2=BD·DCB、CD2=CF·CAC、DE2=AE·EBD、AD2=AF·AC5．ΔABC中，D，E，F分别在AB，BC，AC上，四边形ADEF是菱形，AB=a,AC=b，则菱形ADEF的边长是（）A、B、C、D、6．正方形ABCD中，E是AD中点，BM⊥CE于M，AB=6cm,则BM的长为（）。A、12cmB、cmC、3cmD、cm7．要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍。A、2B、4C、2D、648．梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于E点，SΔADE∶SΔADC=1∶3，则SΔADE∶SΔDBC=（）。A、1∶3B、1∶4C、1∶5D、1∶6（三）已知：如图，在ΔABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm，求：AB，AC的长。（四）矩形DGFE内接于ΔABC，DG∶DE=3∶5，S矩形DGFE=60cm2,高AH=10cm，求：SΔABC。（五）如图，在ΔABC中，AD是BC边上中线，E是AD中点，求证：AF=FC，EF=BE。（六）已知：如图，在ΔABC中，D为AB边上一点，Q为BC延长线上一点，DQ交AC于P，且∠BDQ=∠PCQ，求证：AB·QD=AC·QB。练习参考答案：（一）填空：1．3∶7；（合比性质）2．（注意顺序为b,a,c的第四比例项）3．2（注意线段的比例中项仍然是线段）4．；（本题用到等比性质）5．106．±2（注意与3小题的区别）7．5.4（由平行得比例，从而计算出DE的长）8．2，2（双垂直条件下，灵活运用乘积式及勾股定理）9．CD=，AD=，BD=（方法与8小题类似）10．提示：如图，易证ΔABC∽ΔBCD，∴=，∵BC=BD=AD=10-CD，∴=，解得CD=15-5。ΔABC是一个特殊的三角形，我们应熟悉它的一些性质。11．提示：应利用“相似三角形对应高的比等于相似比的性质”如图，等边ΔABC，AB=BC=AC=a，正方形DEFG内接于ΔABC，设正方形边长为x，作AH⊥BC于H，交DG于P，∵DG//BC，∴ΔADG∽ΔABC，∴=，∵AH=a,∴=，解得x=(2-3)a.12．56∶25（用到相似三角形面积比等于相似比的平方）13．14．75或27，提示：当小多边形的周长为45时，大多边形的周长为×45=75；当大多边形的周长为45时，小多边形的周长为×45=27。15．100cm和40cm（二）选择题：1.D2．A。提示：过E作EG//AD交BD于G，则==，设BG=2k,GD=3k,则BD=5k,CD=15k,∵EG//PD，∴===3．C4.A5.D6．B。提示：如图，易证ΔBMC∽ΔCDE，∵ED=AD=3，CD=6，∴EC==3，∴=，∴=，∵BM=7.C8.D（三）AB=20cm,AC=12cm。提示：过D点作DH//AB交CE于H，∵AD是中线，∴EH=CH，设EF=3k,FC=5k,则EH=4k,FH=k,∵BE=8cm,∴DHBE,∴DH=4cm,∵DH//AE,∴==,∴AE=3DH=12cm,∴AC=AE=12cm,AB=20cm.（四）125cm2.提示：设DG=3k,DE=5k,∵S矩形DGFE=60cm2,∴3k·5k=60,求得k=2,得DG=6cm,DE=10cm,∵DE//BC,∴ΔADE∽ΔABC，由相似三角形对应高的比等于相似比可得=，即=，∴BC=25，∴SΔABC=BC·AH=×25×10=125(cm2).（五）略（六）提示：过点D作DM//AC交BC于M，证ΔBDM∽ΔBAC及ΔQDM∽ΔQBD，通过等比代换可得。