八年级上册三角形专题讲义

1八年级上册三角形专题讲义知识点1：三角形的边1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三条边，三个内角，三个顶点。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。例1.右图中三角形的个数是（）A．6B．7C．8D．9⒉三角形的分类：(1)按边分类：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。(2)按角分类：例1．如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断_C_B_A三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形CDABEF23.三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边。用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a，已知三角形两边的长度分别为a，b，则第三边c的长度范围：|a－b|＜c＜a＋b。例1．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cmB．1cm，4cm，2cmC．1cm，2cm，3cmD．6cm，2cm，3cm练习1．在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的是（）A．7cmB．4cmC．3cmD．10cm练习2．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是()A．14B．15C．16D．17例2．已知三角形的三边长分别是3，8，x，若x的值为偶数，则x的值有（）A．6个B．5个C．4个D．3个练习3．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是________练习4.等腰三角形ABC的两边长为2，4，则三角形ABC的周长是________练习5.等腰三角形ABC的两边长为3，5，则三角形ABC的周长是________练习6.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法例3.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|3知识点2：三角形的高、中线与角平分线1.三角形的高：从△ABC的顶点A向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部；③三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。2.三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫做“三角形的重心”；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形。3.三角形的角平分线：∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。注意区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做“三角形的内心”。46题图7题图5题图FEDDFDEBCAACBBCA例1.下列说法错误的是()A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点例2.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）练习1.如图所示：（1）在△ABC中，BC边上的高是；（2）在△AEC中，AE边上的高是例3.能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（）A.角平分线B.中线C.高D.A、B、C都可以练习2.如图5，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_____的中线练习3.如图6，BD=12BC，则BC边上的中线为______，ABDS=________=21________练习4.如图7，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABCS=42cm，则S阴影等于()A．22cmB.12cmC.122cmD.142cmABCD(D)ECBA(C)ECBA(B)ECBA(A)ECBA5练习5.一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出两种划分方案供选择，画图说明。例4.如图1，在△ABC中，∠BAC=600，∠B=450，AD是△ABC的一条角平分线，则∠DAC=，∠ADB=练习6.如图2，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空：⑴BE==21；⑵∠BAD==21⑶∠AFB==900B练习7.如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高，那么图中与∠A相等的角是（）A、∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDC中考链接：（2012昆明，5，3分）在ABC中，67B，33C，AD是ABC的角平分线，则CAD的度数为()A．40B．45C．50D．55图1DCAF图2EDCBADCBA6知识点3：三角形的稳定性1.三角形具有稳定性。2.四边形及多边形不具有稳定性。例1.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的性练习1.下列图形中具有稳定性的有（）A、正方形B、长方形C、梯形D、直角三角形知识点4：三角形的内角1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°。推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。证明过程：一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，即∠A+∠B+∠ACB=1800二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，即∠BAC+∠B+∠C=1800注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角例1．如图，在ABC中，AD平分BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则C的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°ABCD7练习1．如图，已知∠A=∠30°，∠BEF=105°，∠B=20°，则∠D=()A．25°B．35°C．45°D．30°练习2．已知△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A＝60°，∠C=80°求：△BDE各内角的度数练习3．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A＝60º，∠C＝70º，求∠CAD，∠BOA例2.已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B=，∠C=练习4.一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形练习5．在△ABC中，∠A+∠B=90°，∠C=3∠B，则∠A=，∠B=，∠C=练习6．如果三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则此三角形的形状是例3．如图，在△ABC中，∠A=40°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2等于（）A．130°B．220°C．180°D．310°CAFBDEACBED12ABCEDFOAEBCD88题图150503217题图1408016题图FEACBD练习7.如图4，则∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度?例4．如图，在△ABC中，AI和CI分别平分∠BAC和∠BCA，如果∠B=58°，那么∠AIC=知识点5：三角形的外角三角形的外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角。如:∠ACD、∠BCE都是△ACB的外角，且∠ACD=∠BCE。所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了。三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。例1.如图6，若∠A=22°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°练习1.如图7，∠1=______练习2.如图8，则∠1=______，∠2=______，∠3=______练习3.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为___________练习4.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是()A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形图4432140BACED9例2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°练习5.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数()A.90°B.110°C.100°D.120°练习6.若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（）A．3：2：1B．1：2：3C．3：4：5D．5：4：3例3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD、BD相交于点D，求∠D的度数练习7.在△ABC中，∠A=40°，D是BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于E，求∠E的度数中考链接：（2008昆明，4，3分）已知:如图，∠DAC是△ABC的一个外角，∠DAC=850，∠B=450，则∠C的度数为()A．500B.450C.400D.350FECBADABCDE第4题图DCBA10DCBA（2009昆明，13，3分）等腰三角形的一个外角为100º，则这个等腰三角形的顶角的度数为度（2011昆明，11，3分）如图，点D是△ABC的边BC延长线上的一点，∠A=70°，∠ACD=105°，则∠B=（2014昆明，5，3分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A.85°B.80°C.75°D.70°知识点6：多边形及其内角和1.多边形的概念在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做它的外角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为：)3(21nn。2.凸多边形画多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。3.正多边形各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）111.n边形内角和：(n－2)·180°从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n－3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为：(n－2)·180°2.n边形外角和：360°多边形的每个外角与相应的内角互补，共有n个外角，所以n边形的外角和为：n·180°－(n－2)·180°=360°例1.六边形的对角线的条数是（）A.7B.8C.9D.10例2.下列不能够镶嵌的正多边形组合是（）A.正三角形与正六边形B.正方形与正六边形C.正三角形与正方形D.正五边形与正十边形练习1.一些大小、形状完全相同的三角形_______密铺地板，正五边形_______密铺地板（填“能