人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解--知识点、典型例题复习

整式的乘法及因式分解整式的乘法同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方单项式的乘法aman·=am+namn()=amnabn()=anbna2x54·x2a3b(-3)=[4(-3)]a3a2()x2x5()b=-12a5bx7整式的乘法同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方单项式的乘法单项式与多项式相乘多项式的乘法aman·=am+nam()n=amnabn()=anbna2x54·x2a3b(-3)m(a+b)=(a+b)(m+n)=ma+mbam+an+bm+bn底数不变指数相乘指数相加mnnmaa)(nmnmaaa同底数幂相乘幂的乘方其中m,n都是正整数想一想a2a3a5+=(1)a2aa2·=(2)(x-y)2(y-x)5=(x-y)7(8)x2()3=x5(4)a3x635-(x-y)7(y-x)7··47(6)(-5)(-5)=511-511(-3)2·33=(-3)5(7)2(5)35a·2a=10a610a5(3)a3a3=2a3a6找一找47-x2yz2()74-xy2()=x3y3105103-1021010()()-2··3()=-621-61-a2b3a8b27()3=a3n23n()·b2()ab()=(A)(D)(B)(C)D6n口答练习x3x2·=()a62+a43()=xx2·()3=x3x2002·=·=71()1997719982=·()(-ab)-c2b3a3(1)(3)(7)·-abc()(-ab)2=(6)(5)(4)(2)x52a12x7x19997-a3b3c2+abc比一比算计(1)3x2()3-7x3[]x3-x4x2+1()a2()-2b2a+2b()-2ab(a-b)(2)先化简，再求值:其中a=1,b=21.公式的反向使用nmnmaaamnnmmnaaabababa323210102101710410）　（）　（，求下列各式的值＝，　＝已知公式的反向使用试用简便方法计算:(ab)n=an·bn（m,n都是正整数）反向使用:an·bn=(ab)n(1)23×53;(2)(-5)16×(-2)15(3)24×44×(-0.125)4;=(2×5)3=103=(-5)×[(-5)×(-2)]15=-5×1015=[2×4×(-0.125)]4=14=1(1)(x5y)÷x2=x5−2·y(2)(8m2n2)÷(2m2n)=(8÷2)·m2−2·n2−1;(3)(a4b2c)÷(3a2b)=(1÷3)·a4−2·b2−1·c.商式被除式除式仔细观察一下，并分析与思考下列几点：(被除式的系数)÷(除式的系数)写在商里面作(被除式的指数)—(除式的指数)商式的系数＝单项式除以单项式，其结果(商式)仍是被除式里单独有的幂，(同底数幂)商的指数＝一个单项式;因式。单项式的除法法则•如何进行单项式除以单项式的运算?议一议单项式相除,把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式。理解商式＝系数•同底的幂•被除式里单独有的幂除式的系数被除式的系数底数不变，指数相减。保留在商里作为因式。观察&归纳解：(1).(2x²y)³·(–7xy²)÷(14x4y³)=-56x7y5÷(14x4y³)=-4x3y2解：(2).(2a+b)4÷(2a+b)²=(2a+b)²=4a2+4ab+b2=8x6y3·(–7xy²)÷(14x4y³)=(2a+b)4-2(1)(-a)8÷(-a2)(2)-5a5b3c÷5a4b3(4)-3a2x4y3÷(-axy2)(5)(4×109)÷(-2×103)=-a6=-ac=3ax3y=-2×106(3)6m2n÷(-2mn)=-3m你找到了多项式除以单项式的规律吗？议一议(a+b+c)÷m=多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。多项式除以单项式的法则abcmmm例题解析例3计算：aaaa3)61527(123）（)21()213(222xyxyxyyx）（（2）原式=例题)21(32xyyx)21(21xyxy=x6.121()2xyxy2y(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c)(3)(-3.6×1010)÷(-2×102)2÷(3×102)2=a8b4c2=–10(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2=4x2y22234)21()212)(4(xxxx乘法公式平方差公式完全平方公式(两数和的平方）(a+b)(a-b)=a2b2-(a+b)2=a2b22ab++二次三项型乘法公式(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab2•计算：•（1）（2x＋3）（2x－3）•（2）（－x＋2）（－x－2）•（3）（－2x＋y）（2x＋y）•（4）（y－x）（－x－y）•(5)1998×２００２．例1计算1998200219982002=（2000-2）（2000+2）2222000=4000000-4=3999996解22)2)(2()2)(1(nmnm：计算想一想下列计算是否正确？如不正确，应如何改正？(-x+6)(-x-6)=-x2-6(1)2-x-1(-x-1)(x+1)=(2)=(-x)2-62=x2-36-(x+1)=(x+1)=-(x+1)2=++1()x22x-=-x2-2x-1(3)(-2xy-1)(2xy-1)=1-2xy2=(-1)2-(2xy)22=1-4xy2222222222)(______))(4(_____)()3(25___4___)2)(2(___6___))(1(yxyxbabaxxaaa：填空39520x2ab4xy已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,则ab=()(1)（A）1（B）-1（C）0（D）1或-1(C)(D)(2)如果4x+12xy+k是一个关于x、y的完全2平方式，则k=()(A)(B)3y29y2y36y2是一个关于x、y的完全平如果4x2+kxy+9y2方式，则k=()AB+12（3）如果a+a1=3,则a2+a21=()(A)7(B)9(C)10(D)11所以=9a+a1()2所以a+a1=922+2A故aa1=72+2因为a+a1=3解：(a-2b+3)(a+2b-3)的结果是（）（A）22a+4b+12b-9（C）22a+4b-12b-9（B）a2-4b2-12b-9（D）a2-4b2+12b-9D（4）计算=[a-(2b-3)][a+(2b-3)]=a2-(2b-3)2=a2-(4b-12b+9)2=a2-4b2+12b-9(a-2b+3)(a+2b-3)解：因式分解1.运用前两节所学的知识填空1).m(a+b+c)=.2).(a+b)(a-b)=.3).(a+b)2=.2.试一试填空:1).ma+mb+mc=m•()2).a2-b2=()()3).a2+2ab+b2=()2ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?a+b+c(a+b)(a-b)a+b一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。定义理解概念判断哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy(3)(5a-1)2=25a2-10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)(a-3)(a+3)=a2-9因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法)43(43)6(2aaaaa两者都不是像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法像(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为公式法.1)ma+mb+mc=m(a+b+c)2)a2-b2=(a+b)(a-b)3)a2+2ab+b2=(a+b)2注意事项•1)首选提公因式法,其次考虑公式法•2)两项考虑平方差法，三项考虑完全平方公式•3）因式分解要砌底•4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路找出下列各多项式中的公因式2231218)3(525)2(1536)1(babaaabcba找一找公因式系数字母35a6a２b各项系数的最大公约数取每项中含有的相同字母问:多项式中的公因式是如何确定的？指数相同字母的最低次幂易错分析25)()()xyyxy2　x223)819ab24)84xx34x1、把下列各式分解因式：1）18-2b²2)x4–126)43(43)abab　22)2()1(25)7xx1.选择题：3)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A.4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y²4)-4a²+1分解因式的结果应是（）A.-(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)B.-(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)DD拓展提高1.把下列多项式因式分解1).6x(a+2b)2-3x(a+2b)2).(b-a)2-2a+2b3).a(a-b)2+(b-a)3提公因式法因式分解1)13.8×0.125+86.2×2)0.73×32-0.32×633)33+112+664)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.巧计妙算183.解方程:(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(2005-x)提公因式法因式分解()()＋－x2－16练习：分解下列各式:（1）x2-16解：(1)（2）9m2-4n2xx４４()()＋－a2b2－aabb()()＋－＝……①＝x2－4242x2＝(2)9m2-4n23m3m()()＋－a2aabb……②＝(3m)2－(2n)2(2n)2(3m)2＝b2－＝2n2n平方差公式的应用题：1、利用分解因式简便计算(1)652-642(2)5.42-4.62(3)(4)22)412()435(222248252100解:652-642=(65+64)(65-64)=129×1=129解:5.42-4.62=(5.4+4.6)(5.4-4.6)=10×0.8=8答案:5答案:28提高题：2、已知,,求（a+b）2-(a-b)2的值。7522a4425b解:(a+b)2-(a-b)2=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=2a·2b=4ab当，时，原式=4××=7522a4425b75224425323、求证:当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。思考：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2完全平方公式•a2+2ab+b2=(a+b)2•a2-2ab+b2=(a-b)2•用他们可以把一个三项式分解因式的特点：•两项是两个数的平方•另一项是加上(或减去)这两个数积的两倍完全平方例题讲解(1)•x2-4x+4=x2-4x+22=(x-2)2•a2+2a+1=a2+2·a·1+12=（a+1）2•a2+10a+25=a2+2·a()+()2=(a+)2555•X2+12ax+36a2=X2+2·x·6a+(6a)2=(x+6a)2小练习(2)•4a2+25b2-20ab=(2a)2-2·2a·5b+(5b)2=(2a-5b)2•-8x2y-2x3-8xy2=-2x(x2+4xy+4y2)=-2x(x+2y)2动手做已知x=a+2b,y=a-2b，求:x+xy+y22（1）（2）解方程:2(x+11)(x-12)=x-1001、已知a+b=5，ab=-2，求（1）a2+b2（2）a-ba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab2、已知a2-3a+1=0，求（1）（2）221aa1aa3、已知求x2-2x-3的值31x6.若(x-m)2=x2+8x+n,求mn的值7.若9x2-m