非线性部分习题答案

描述函数法：1.根据题意有：AMAN4)(,1M)2)(1()(sssksG4)(1AAN根据题意可得图形（略）。其交汇点在实轴上，即22s，得到此时频率为：2幅值为24)(1AAN即：8A由于极限环为系统从不稳定区域到稳定区域极限环，因此该极限环是稳定的。2.根据题意有：)1sin2(2)(221AaAakAN系统没有交汇点，并且)(1AN曲线在)(sG的外面，故系统是稳定的。3.根据题意有：饱和特性为]1[sin2)(2211AaAaAakAbAN)(1AN在实轴上的最大值为1。如果存在交汇点，则交汇点在实轴上，即502s，得到此时频率为：50临界值为：1/)(50jssG得到：750k。4.根据题意画出BODE图，然后得到低频带宽即可！5.62)(1AAAN如果存在交汇点，则交汇点在实轴上，即12s，得到此时频率为：1临界值为：31/)(1jssG得到：232k。系统拥有极限环。当2k，系统不稳定。当32k，系统稳定。相平面法：1.10010100101.010)(22sssss得到：010010yyy因此有：21yy21210100yyy得到：2211210100yyydydy绘制相平面为：2.上课讲过（略）。3.比较复杂，略。4.0)5.03(2xxxxx根据公式有：00)5.03(212xxxxxdxdx得到奇点为：)0,1(),0,0(分别以该点进行线性化可得：xxx5.05.分段即可。6.以这道题为例，进行讲解。第一问为课本例题，系统存在临界极限环。第二问：25.01)()(sssUsH有05.0yy，1u05.0yy，1u即1y，当05.0yy1y，当05.0yy绘制系统的相平面轨迹为：略。可得系统是稳定的。根据非线性方程得到非线性状态方程，并且基于状态方程绘制系统的相平面图形，进而判定系统的稳定性及其它特性。李雅普洛夫函数4.1ThenormusedinthedefinitionsofstabilityneednotbetheusualEuclidiannorm.Ifthestate-paceisoffinitedimensionn(i.e.,thestatevectorhasncomponents),stabilityanditstypeareindependentofthechoiceofnorm(allnormsare“equivalent”),althoughaparticularchoiceofnormmaymakeanalysiseasier.Forn=2,drawtheunitballscorrespondingtothefollowingnorms:22212xxx(Euclidiannorm)圆222125xxx是一个椭圆12xxx菱形12Sup,xxx正方形RecallthataballB(0x,R),ofcenter0xandradiusR,isthesetofXsuchthatRxx0,andthattheunitballisB(0,1).4.2Forthefollowingsystems,findtheequilibriumpointsanddeterminetheirstability.Indicatewhetherthestabilityisasymptotic,andwhetheritisglobal.(a)34sinxxx(b)5(5)xx平衡点，5x，线性化，xxxxx25/)5(50，asymptoticstability.将平衡点移到原点位置，令，5ˆxx，得：5ˆˆxx令2ˆ)ˆ(xxV，得：6ˆ2)ˆ(xxV因此globalstability.(c)57282sincos3xxxxxx(d)47533(1)sinxxxxxx(e)27(1)sin2xxxxx4.3ConsiderannnmatrixMoftheformTMNN,whereNisamnmatrix.ShowthatMispositivedefinite.if,andonlyif,mnandNhasfullrank.TTTTxNxNxxNNxMx)(4.4ShowthatifMisasymmetricmatrixsuchthat,0TxxMxthenM=0.实对称矩阵的正交对角化。4.5ShowthatifsymmetricpositivedefinitematricesPandQexistsuchthat2TAPPAPQthenalltheeigenvaluesofAhavearealpartstrictlylessthat.令xIAx)(即可。4.6Considerthesystem1230yyyAAAwherethe21nvectorTTTxyyisthestate,andthennmatricesjAareallsymmetricpositivedefinite.Showthatthesystemisgloballyasymptoticallystable,with0asauniqueequilibriumpoint.令0x，可得0,0yy，进而0y。故，0x。令，4.7Thesecondlawofthermodynamicsstatesthattheentropyofanisolatedsystemcanonlyincreasewithtime.HowdosethisrelatetothenotionofaLyapunovfunction?