4函数的奇偶性与周期性学案-及作业(教师版)

函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)是偶函数关于____对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)是奇函数关于______对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f(x)的最小正周期．3．对称性若函数f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线__________对称．一、函数奇偶性的判定1．判断下列函数是否具有奇偶性。（1）3()4fxxx（2）xxxf2)(2（3）1)(xf（4）11)(xxxf（5）21()22xfxx（6）xxxxf11)1()(⑺23,0()0,023,0xxfxxxx的奇偶性方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；1．定义法2．图象法[来源:学科网ZXXK]3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．同步练习2．判断下列函数是否具有奇偶性？（1）()1fx；偶（2）2()21fxxx；偶（3）()1fxx；非奇非偶（4）2(),(1,1]fxxx非奇非偶（5）()11fxxx；非奇非偶（6）22()44fxxx3．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝lg1－x1＋x；(2)f(x)＝x2＋xx0，x2－xx0；(3)f(x)＝lg1－x2|x2－2|－2.解：(1)由1－x1＋x0⇒－1x1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg1－x1＋x－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，故原函数是奇函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．(3)由1－x20，|x2－2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f(x)＝lg1－x2－x2－2－2＝－lg1－x2x2.∵f(－x)＝－lg[1－－x2]－x2＝－lg1－x2x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数.4．在函数sinyx，2yx，3xy，3logyx中为偶函数的是A．sinyxB．2yxC．3xyD．3logyx答案：B5．下列函数中，既是偶函数又在区间0+（，）上单调递减的是（*）.A．1yxB．xyeC．21yxD．lg||yx答案：C6．下列函数中既是偶函数又在),0(上是增函数的是（）A.1yxB.1||xyC.ln()xfxxD.21yx答案：B7．下列函数中,是奇函数的为（）A．B．C．D．答案：B8．下列函数是奇函数的有()①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，②③为奇函数．9．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：选A∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．故F(x)为偶函数．即f(x)＋|g(x)|是偶函数．偶10．设()fx是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()(A)()()fxfx是奇函数(B)()()fxfx是奇函数(C)()()fxfx是偶函数(D)()()fxfx是偶函数11．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．||2xyB．2lg(1)yxxC．22xxyD．1lg1yx答案：D12．函()22xxfx在定义域上是A．偶函数B.奇函数C．既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案：B13．函数1010xxfxxx是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案：C二．利用函数的奇偶性求解析式和参数的值若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f(x)是偶函数且在x＝0处有定义，就不一定有f(0)＝0，如f(x)＝x2＋1是偶函数，而f(0)＝1.[来源:学&科&网]14．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－a－42，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－a－42＝0，解得a＝4.答案：415．已知)(xf函数为偶函数，且当0x时，1)(xxf，则0x，)(xf的解析式。16．已知()fx是偶函数，()gx是奇函数，若1()()1fxgxx，则()fx＝。答案：21()=1fxx17．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：(1)选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）答案：D19．设()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx，则()f（）A．3B．C．1D．3答案：20．已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当30()xfxxx时，，则当0()xfx时，（）A.3()fxxxB.3()fxxxC.3()fxxxD.3()fxxx答案：B21．已知函数()fx的定义域为(32,1)aa,且(1)fx为偶函数,则实数a的值可以是（）A．2B．4C．6D．23答案：A22．若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数，则a的值是.答案：123．设211()lg(),[,]122fxaxx是奇函数，则实数a=__▲___答案：-124．若)x(f为奇函数，当0x时axx)x(f2，且6)3(f，则实数a的值为答案：525．若函数2ln1fxxax是偶函数，则实数a的值为．答案：026．已知)(xfy是定义在R上的奇函数，当0x时，)(xf122xx，则)1(f.答案：-2三、函数的奇偶性与单调性的关系偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．27．已知函数fx是奇函数，且在区间1,2上单调递减，则2,1fx在区间上是（）A.单调递减函数，且有最小值2fB.单调递减函数，且有最大值2fC.单调递增函数，且有最小值2fD.单调递增函数，且有最大值2f答案：B28．已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在,0上时增函数，若30f，则0fxx的解集为.答案：3,03,29．已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)f(1)，则()A．f(－1)f(－3)B．f(0)f(－1)C．f(－1)f(1)D．f(－3)f(－5)选A函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又31，且f(3)f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．选项A中，－3－1，故f(－3)f(－1)．选项B中，0－1，故f(0)f(－1)．同理选项C中f(－1)f(1)，选项D中f(－3)f(－5).30．知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0,+)上是增函数，则f(-2),f(-),f(3)的大小关系是（D）A．f(-)f(-2)f(3)B．f(3)f(-)f(-2)C．f(-2)f(3)f(-)D．f(-)f(3)f(-2)31．已知f(x)是奇函数，定义域为{x|xR且x0},又f(x)在（0，+）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)0的x取值范围是(-1,0)(1,+).32．设函数1,0,xDxx是有理数是无理数，则下列结论错误．．的是（）(){0,1}ADx的值域是()BDx是偶函数()CDx不是周期函数()DDx不是单调函数答案：C33．定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,[0,)()xxxx，有2121()()0fxfxxx.则A.(1)(2)(3)fffB.(3)(2)(1)fffC.(2)(1)(3)fffD.(3)(1)(2)fff答案：B34．已知xf是定义域为,00,的奇函数，在区间,0上单调递增，当0x时，xf的图像如右图所示：若：0xfxfx，则x的取值范围是答案：(3,0)(0,3)35．奇函数()fx在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1，则2(6)(3)ff________答案：-15四、函数奇偶性的应用36．对于定义域R上的任何奇函数f(x)都有（）(A)f(x)－f(－x)0（xR）；(B)f(x)－f(－x)0（xR）；(C)f(x)·f(－x)0（xR）；（D）f(x)·f(－x)0（xR）。37．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，则f(－1)＝－3，故g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.38．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是________．解析：∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，∴当x∈(0,1)时，f(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f(x