第03讲-函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)

1第03讲函数的性质2015.07.14（单调性、奇偶性、周期性、对称性）【考纲解读】2.函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．【知识梳理】1.单调性定义：①21,xx区间M(AM定义域),012xx若②012xfxfy，则③xf在M上是增函数(M称为增区间)；若②012xfxfy，则③xf在M上是减函数(M称为增区间).函数单调性题目类型（1）利用定义的常见单调性题目：①②③,判断函数的单调性；②③①,判断自变量大小；①③②，判断函数值的大小。（2）已知单调性，反求参数范围；（3）利用导数研究函数单调性；（4）利用已知函数的图像研究函数单调性;（5）复合函数的单调性2.奇偶性定义：（1）若xfxfDx，,则xf是偶函数；若000xfxfDx，使得，则xf不是偶函数；（2）若xfxfDx，,则xf是奇函数；若000xfxfDx，使得，则xf不是奇函数；注意：定义的否定形式.3.周期性:定义：若存在非零常数T，使得xfTxfDx，,则xf为周期函数，T是一个周期.4.对称性（1）偶函数的图像关于y轴对称；（2）奇函数的图像关于原点对称；（3）指数函数xay和对数函数xyalog是互为反函数，它们的图像关于直线xy对称；（4）若xf满足xafxaf，则xf的图像关于直线ax对称；（5）若xf满足xafxaf，则xf的图像关于点0，a对称；（6）若xf满足xbfxaf，则xf的图像关于直线2bax对称；（7）若xf满足xafbxaf2，则xf的图像关于点ba，对称；【典例精讲】考点一单调性例1.（15湖南理）设函数()ln(1)ln(1)fxxx，则()fx是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A.【解析】试题分析：显然，)(xf定义域为)1,1(，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(xfxxxf，∴)(xf练习1.1（2012山东理）设0a且1a,则“函数()xfxa在R上是减函数”,是“函数3()(2)gxax在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件1.2（2006北京）已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是(C)（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)7考点二奇偶性例2.（2013上海春）已知真命题:“函数()yfx的图像关于点()Pab、成中心对称图形”的充要条件为“函数()yfxab是奇函数”.(1)将函数32()3gxxx的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()gx图像对称中心的坐标;(2)求函数22()log4xhxx图像对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数()yfx的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数()yfxab是偶函数”.判断该命题的真假.如果是2真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2yxx,整理得33yxx,由于函数33yxx是奇函数,由题设真命题知,函数()gx图像对称中心的坐标是(12)，.(2)设22()log4xhxx的对称中心为()Pab，,由题设知函数()hxab是奇函数.设()(),fxhxab则22()()log4()xafxbxa,即222()log4xafxbax.由不等式2204xaax的解集关于原点对称,得2a.此时22(2)()log(22)2xfxbxx，，.任取(2,2)x,由()()0fxfx,得1b,所以函数22()log4xhxx图像对称中心的坐标是(21)，.(3)此命题是假命题.举反例说明:函数()fxx的图像关于直线yx成轴对称图像,但是对任意实数a和b,函数()yfxab,即yxab总不是偶函数.修改后的真命题:“函数()yfx的图像关于直线xa成轴对称图像”的充要条件是“函数()yfxa是偶函数”.练习2.（2013山东理）已知函数()fx为奇函数,且当0x时,21()fxxx,则(1)f(A)2(B)0(C)1(D)2【答案】A考点三周期性例3.（2012江苏）设()fx是定义在R上且周期为2的函数,在区间[11]，上,0111()201xxaxfxbxx≤≤≤，，，，其中abR，.若1322ff,则3ab的值为____.练习3.1（2013大纲文13）设xf是以2为周期的函数，且当]3,1[x时，2xxf则1f的值为【参考答案】练习3.2(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,(,0]()xxxx，有2121()(()())0xxfxfx.则当*nN时,有(A)()(1)(1)fnfnfn(B)(1)()(1)fnfnfn(C)(C)(1)()(1)fnfnfn(D)(1)(1)()fnfnfn考点四综合问题例4.（15年新课标2文科）设函数21()ln(1||)1fxxx,则使得()(21)fxfx成立的x的取值范围是（）A．1,13B．1,1,3C．11,33D．11,,33【答案】A【解析】试题分析：由21()ln(1||)1fxxx可知fx是偶函数,且在0,是增函数,所以121212113fxfxfxfxxxx.故选A.考点：函数性质练习4.（2013江苏11）已知)(xf是定义在R上的奇函数。当0x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出xxxf4)(2(0x)的图像，如下图所示。由于)(xf是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式xxf)(，表示函数y＝)(xf的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。3【基础夯实】1.（15福建文）下列函数为奇函数的是()A．yxB．xyeC．cosyxD．xxyee【答案】D【解析】试题分析：函数yx和xye是非奇非偶函数；cosyx是偶函数；xxyee是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．2.(2010重庆理5)函数41()2xxfx的图象（A）关于原点对称（B）关于直线y＝x对称（C）关于x轴对称（D）关于y轴对称【答案】D解析：)(241214)(xfxfxxxx)(xf是偶函数，图像关于y轴对称.3.（2013湖北文）x为实数,[]x表示不超过x的最大整数,则函数()[]fxxx在R上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D4.（2013湖南文4）已知xf是奇函数，xg是偶函数，且2)1(1gf，4)1(1gf，则1gA.4B.3C.2D.1【参考答案】B5.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（）A．2sinyxxB．2cosyxxC．lnyxD．2xy【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()fxfx，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0,)不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.6.（15广东理）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．xexyB．xxy1C．xxy212D．21xy【答案】A．【解析】令xfxxe，则11fe，111fe即11ff，11ff，所以xyxe既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A．【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．7.（2014·北京）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)A8.（15陕西文）设()sinfxxx，则()fx（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【答案】B【解析】()sin()()sin()sin(sin)()fxxxfxxxxxxxfx又()fx的定义域为R是关于原点对称，所以()fx是奇函数；()1cos0()fxxfx是增函数.故答案选B考点：函数的性质.9.[2014·福建]已知函数f(x)＝x2＋1，x0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)D10.（2010山东理4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=(A)3(B)1(C)-1(D)-3【答案】D【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有0f(0)=2+20+b=0,解得b=-1,所以当x0时,xf(x)=2+2x-1,即f(-1)=-f(1)=12+21-1=-3-（）,故选D.【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.11.（2011上海理13）设()gx是定义在R上，以1为周期的函数，若函数()()fxxgx在区间[3,4]上的值域为[2,5]，则()fx在区间[10,10]上的值域为.【答案】[15,11]xyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)412.（2013安徽文科14）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）.若当0≤x≤1时,f（x）=x（1-x），则当-1≤x≤0时，f（x）=________________13.（15福建文）若函数()2()xafxaR满足(1)(1)fxfx，且()fx在[,)m单调递增，则实数m的最小值等于_______．【答案】1【解析】试题分析：由(1)(1)fxfx得函数()fx关于1x对称，故1a，则1()2xfx，由复合函数单调性得()fx在[1,)递增，故1m，所以实数m的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．14.（15新课标1理）若函数2lnxaxxxf为偶函数，则a=【答案】1【解析】由题知2ln()yxax是奇函数，所以22ln()ln()xaxxax=22ln()ln0axxa，解得a=1.15.（2014·新课标Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．(－1，3)【能力提升】1.（2013广东理）定义域为R的四个函数3yx,2xy,21yx,2sinyx中,奇函数的个数是()A.4B.3C.2