第六章-数值分析模型§6.1插值法

数学建模电子教案第13次课课题第六章数值分析模型§6.1插值法教学内容1、插值定义，常用的插值函数是多项式与样条函数：拉格朗日(lagrange)插值，埃尔米特插值，三次样条插值。2、曲线拟合定义，常用的三种拟合准则：最小二乘准则，最小一乘准则，极小极大准则。教学目标1、理解插值定义和曲线拟合定义2、掌握拉格朗日(lagrange)插值，埃尔米特插值，3、了解三次样条插值掌握最小二乘准则，最小一乘准则，极小极大准则的计算方法。教学重点插值法和曲线拟合教学难点三次样条插值双语教学内容、安排Numericalanalysismodel数值分析模型Insertingvaluemethod插值法Splinefunction样条函数教学手段、措施以板演为主，多媒体与课堂讨论为辅作业、后记讨论体：P163:T1教学过程及教学设计备注§6.1插值法一、插值1、插值定义由实验或测量得到的某一函数()yfx在一系列点01,,,nxxx处的值01,,,nyyy，需要构造一个简单函数()x作为函数()yfx的近似表达式：()()yfxx，使得0011(),(),,()nnxyxyxy(6-1)这类问题称为插值问题。()x称为被插值函数，01,,,nxxx称为插值函数，01,,,nxxx称为插值节点；式(6-1)称为插值条件。2、常用的插值函数是多项式与样条函数。（1）拉格朗日(lagrange)插值取n次多项式()npx作为插值函数2012()nnnpxaaxaxax（6-2）（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）数学建模电子教案第13次课利用插值条件有：20102000201121112012nnnnnnnnnnaaxaxaxyaaxaxaxyaaxaxaxy（6-3）其系数行列式为1n阶范德蒙行列式，因插值节点互不相同，所以方程组的解存在且唯一。其系数行列式为范德蒙(Vandermonde)行列式：20002111211()1nnjijinnnnxxxxxxxxxxx由于插值节点ix互不相同，所以上述行列式不等于0，故由克莱姆(Cramer)法则知，方程组(6-3)的解存在而且是唯一的。实际上比较简单的方法不是解方程组(6-3),而是构造一组插值基函数.为此,首先求满足条件0()1ijjiLxji（6-4）的n次多项式()(0)iLxin。因为式（6-4）表明，除ix点以外，其他所有的节点都是n次多项式()iLx的零点，故设011()()()()()iiinLxAxxxxxxxx其中A为待定常数。由()1iiLx可得0111()()()()iiiiiinAxxxxxxxx所以0110011()()()()()()()()()()()njiinijiiiiiinijjixxxxxxxxxxLxxxxxxxxxxx(0,1,,)in（6-5）称之为拉格朗日插值基函数。利用插值基函数（6-5），可以构造多项式00110()()()()()nnnniiiPxyLxyLxyLxyLx（6-6）就是满足插值条件()niiPxy，0in的拉格郎日插值问题的解，称式（6-6）为拉格朗日插值多项式。特别地，当1n时称为线性插值，其插值多项式为：数学建模电子教案第13次课011010110()xxxxpxyyxxxx满足1()iipxy从几何上看，1()ypx(0,1)i为过两点0011(,),(,)xyxy的直线。当2n时，称为抛物线插值，其插值多项式为：0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxPxyyyxxxxxxxxxxxx满足2()iiPxy(0,1,2)i。从几何上看2()yPx为过点0011(,),(,)xyxy和22(,)xy的一条抛物线。插值的误差估计见书中138页。（2）埃尔米特插值许多插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式被称为埃尔米特（Hermite）插值多项式设在节点01naxxxb上，要求插值多项式()Hx，满足条件(),'()jjjjHxyHxm(0,1,,)jn（6-7）由于（6-7）式给出了22n个条件，因此可以唯一确定一个次数不超过21n次多项式21()()nHxHx，其形式为21210121()nnnHxaaax。根据（6-7）式来确定0121,,,naaa显然非常复杂。仿照拉格朗日插值多项式的基函数方法，可先求插值基函数()jdx及()(0,1,,)jxjn。共22n个，每一个基函数都是21n次多项式，且满足条件0,(),'()0;1,()0;()(,0,1,)jkjkjkjkjkjkjkxxjkxxjkn（6-8）于是满足条件（6-7）的插值多项式21()()nHxHx可写成210()[()()]nnjjjjjHxyxmx（6-9）由条件（6-8）式显然有2121();'()(0,1,,)nkknkkHxyHxmkn数学建模电子教案第13次课利用拉格朗日插值基函数()jlx，令2()()()jjxaxblx其中()jlx为（6-5）式所表示的基函数。由条件（6-8）式可得2()()()1jjjjjxaxblx()()[()2()'()]0jjjjjjjjjxlxalxaxblx整理得：12'()0jjjaxbalx解出2'(),12'()jjjjjalxbxlx对()jlx两边取对数求导可得01'()njjkjkkjlxxx于是201()(12())()njjjkjkkjxxxlxxx同理2()()()jjjxxxlx仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若()fx在(,)ab内的22n阶导数存在，则其插值余项为(22)2211()()()()()(22)nnnflRxfxHxxnj其中(,)lab，10()()nnjjxxx。（3）三次样条插值分段线性插值，具有良好的稳定性和收敛性，但光滑性较差。在数学上若函数（曲线）的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。易见，分段线性插值不光滑，这影响了它在某些工程技术实际问题中的应用。例如：在船体、飞机等外形曲线的设计中，不仅要求曲线连续而且还要求曲线的曲率连续，这就要求插值函数具有连续的二阶导数。为解决这一类问题，就产生了三次样条插值。所谓样条（Spline），本来是指一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的节点上，在其他地方任其自然弯曲，然后依样画下的光滑曲线，就称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连续点即节点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。从数学上加以概括，可得到样条函数的定义如下：三次样条函数记作()Sx，axb，满足：①在每个小区间1[,]iixx(0,1,,1)in是三次多项式。数学建模电子教案第13次课②在每个内节点ix(1,,1)in上具有二次连续导数。③(),0,1,,iiSxyin由三次样条函数中的条件①知，()Sx有4n个待定系数。由条件②知，()Sx在1n个内节点上具有二阶连续导数，即满足条件：(0)(0)'(0)'(0)(0)(0)iiiiiiSxSxSxSxSxSx(0,1,2,,1)in（6-10）共有3(1)n个条件。由条件③，知(),0,1,,iiSxyin，共有1n个条件。因此，要确定一个三次样条，还需要外加43(1)(1)2nnn个条件，最常用的三次样条函数()Sx的边界条件有两类：第一类边界条件：00'(),'()nnSxfSxf第二类边界条件：00''(),''()nnSxfSxf特别地，0''()0,''()0nSxSx，称为自然边界条件。第三类边界条件：00()(),'()'(),nnSxSxSxSx0()()nSxSx称为周期边界条件。三次样条插值不仅光滑性好，而且稳定性和收敛性都有保证，具有良好的逼近性质。样条插值函数的建立。构造满足条件的三次样条插值函数()Sx的表达式可以有多种方法。下面我们利用()Sx的二阶导数值()(0,1,,)jjSxMjn表达()Sx，由于()Sx在区间1[,]jjxx上是三次多项式，故()Sx在1[,]jjxx上是线性函数，可表示为11()jjjjjjxxxxSxMMhh（6-11）其中1jjjhxx对()Sx积分两次并利用()jjSxy及11()jjSxy，可定出积分常数，于是得三次样条表达式3311()()()66jjjjjjxxxxSxMMhh22111()()66jjjjjjjjjjMhxxMhxxyyhh(0,1,,1)jn（6-12）数学建模电子教案第13次课上式中(0,1,,)jMjn是未知的，为确定,(0,1,,)jMjn，对()Sx求导得221111()()'()226jjjjjjjjjjjjxxxxyyMMSxMMhhhh（6-13）由此可得11'(0)366jjjjjjjhhyySxMM。类似地可求出()Sx在区间1[,]jjxx上的表达式，从而得11111'(0)63jjjjjjjjhhyySxMMh利用'(0)'(0)jjSxSx可得112(1,2,1)jjjjjjMMMdjn（6-14）其中111,,0,1,,jjjjjjjjhhjnhhhh11111[,][,]66[,,]jjjjjjjjjjfxxfxxdfxxxhh（6-15）11()()[,]jjjjjfxfxfxxh11111[,][,][,,]jjjjjjjjfxxfxxfxxxh对第一类边界条件00'()','()'nnSxfSxf，可导出两个方程01010011162([,]')62('[,])nnnnnnMMfxxfhMMffxxh（6-16）如果令00010061,([,]'),1ndfxxfh，116('[,])nnnnndffxxh则式（6-14）及其（6-16）可写出矩阵数学建模电子教案第13次课000111111112222nnnnnnnMdMdMdMd（6-17）通过求解上述三对角矩阵可求得01,,,nMMM。对于第二类边界条件，直接得端点方程00,nnMfMf（6-18）如果令00000,2,2nndfdf，则式（6-14）及式（6-18）也可以写成矩阵（6-17）的形式。对于第三类边界条件，可得0nMM112nnnnnMMMd（6-19）其中011010,1nnnnnnhhhhhh，01101[,][,]6nnnnfxxfxxdhh则式（6-14）及式（6-19）可以写成矩阵形式1111222211112222nnnnnnnnMdMdMdMd