§3.3天然气储量问题-§3.4-最优捕鱼策略

数学建模电子教案第6次课1课题第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解§3.3天然气储量问题§3.4最优捕鱼策略教学内容微分方程的模型与实验：1.天然气储量问题的模型与实验2.最优捕鱼策略教学目标1、会利用变化率分析并建立微分方程模型。2、会用软件Mathematica和MATLAB求解微分方程模型。教学重点会利用变化率分析并建立微分方程模型。教学难点引入变量，并得出变量之间的关系双语教学内容、安排教学手段、措施多媒体教学，结合板书作业、后记P693、4教学过程及教学设计备注§3.3天然气储量问题一、天然气储量问题1、问题的提出:天然气资源是现代社会重要的基础能源之一，应合理的开发和利用。对开发公司而言，准确地预测天然气的产量和可采储量，始终是一项重要而又艰难的工作，下面是某天然气公司在1957~1976年20年间对某气田产量的统计资料。某气田1957年至1976年产量表年度1957195819591960196119621963196419651966产量（108m3）1943598292113138148151157年度1967196819691970197119721973197419751976产量（108m3）158155137109897970605345试根据所给的数据资料，建立起该气田产量的预测模型，并验证所建立模型的合理性。2、模型假设及符号说明（1）假设该气田的产量是连续的，没有阶段性停产现象。（2）假设所提供的数据是正常生产情况下，气田的产量。数学建模电子教案第6次课2（3）假设没有因意外事故或自然灾害造成停产或减产的情况。（4）假设r（t）为天然气产量的增长率。（5）假设N（t）为天然气田的累积产量。（6）假设Q为气田的年产量。（7）假设气田的可采储量为NR，相对应的开发时间tR。3、问题分析及数学模型根据所给的实际问题，预测气田的产量和可采储量，在这方面，目前国内外的方法很多，但各种预测方法中有一种简单而实用的指数增长模型，它是借鉴英国人口学家Malthus（马尔萨斯）于1798年提出的人口增长模型，而得到的。若假设天然气产量的增长率为r（t），它是时间t的连续函数。气田的累积产量设为N（t），则它们满足如下的关系：)()()(tNtrdttdN而气田的年产量dttdNQ)(，于是上述方程变为：)()(trtNQ有统计资料显示，气田的每年产量与累积产量之比)(tNQ与气田的开发时间t存在如下关系，即BtAtNQ)(lg（5）或写成：bteatNQ)(，其中：BBbaA303.210ln,10假设气田的可采储量为NR，相对应的开发时间为tR，由上面的分析可得到方程：RRbtNtNtNaedttdN)()()(解之可得：)()(btebaReNtN（6）对上式求导预测模型为btebaReeNaQbt)(（7）4、模型的分析与计算（1）模型（3）中a,b的计算由于BBbaA303.210ln,10，所以关键问题在于求出A，B的值。由（1）式，设iiiNQylg，其中iQ为第i年的产量，iN为第i年之前的累积产量，时间t以年为单位，则由所数学建模电子教案第6次课3给数据可得20,,2,1iBtAyii根据线性回归的最小二乘估计，令2012)(),(iiiBtAyBAL为使L（A，B）最小，取L分别关于A，B的偏导数，并令它们为0。0)(20)(2201201iiiiiiitBtAyBLBtAyAL解此方程可得201201ˆ)201(201ˆˆiiiitttyBtyAssB其中：20122012)(201iiiittyts201201201)()(201iiiiiiityytyts从而BbaAˆ303.2,10ˆ。（6）模型（7）中NR的计算对（2）式两边取常用对数可得：xtN)(log（8）其中：btRexbaN,,log。由（8）式和所给的数据，建立回归方程（同上），可求得α、β，从而计算出油田的可采储量10RN（略）。（3）模型的求解将根据上述求得的a，b，NR的值代入模型（6）（7）式便可计算出相应年份累积产量N（t）和年产量Q的预测值。气田储量的mathematica计算程序：%气田储量ch42%文件名：ch42.mdata1={19.0,43.0,59.0,82.0,92.0,113.0,138.0,148.0,151.0,157.0,158.0,155.0,137.0,109.0,89.0,79.0,70.0,60.0,53.0,45.0};data2=Table[0,{n,20}];i=2;数学建模电子教案第6次课4For[data2[[1]]=data1[[1]],i=20,i++,data2[[i]]=data2[[i-1]]+data1[[i]]]data3=Table[0,{m,20},{n,2}];For[i=1,i=20,i++,data3[[i]]={i,Log[10,data1[[i]]/data2[[i]]]}]Fit[data3,{1,t},t]aa=-0.0215995;bb=0.0809426;a=10^aa;b=Log[10.0]*bb;c=a/b;data4=Table[0,{m,20},{n,2}];For[i=1,i=20,i++,data4[[i]]={Exp[-b*i],Log[10,data2[[i]]]}]Fit[data4,{1,x},x]alpha=3.36832;bet=2.35678;Nr=10^alpha;Qp[t_]:=a*Nr*Exp[-c*Exp[-b*t]-b*t];Np[t_]:=Nr*Exp[-c*Exp[-b*t]];data5=Table[Qp[t],{t,1,20}];data6=Table[Np[t],{t,1,20}];compdata1=Table[0,{m,20},{n,2}];For[i=1,i=20,i++,compdata1[[i]]={data1[[i]],data5[[i]]}];compdata2=Table[0,{m,20},{n,2}];For[i=1,i=20,i++,compdata2[[i]]={data2[[i]],data6[[i]]}];f1=ListPlot[data1];f2=Plot[Qp[t],{t,0,20}];f3=ListPlot[data2];f4=Plot[Np[t],{t,0,20}];Show[f1,f2]Show[f3,f4]MatrixForm[compdata1]MatrixForm[compdata2]执行后输出A=-0.0215995B=0.0809426NR=10^alphaalpha=3.36832数学建模电子教案第6次课5实际值与预测值对照表年份T（a）Q（108m3/a）NP（108m3）实际值预测值实际值预测值19571958195919601961196219631964196519661967196819691970197119721973197419751976123456789101112131415161718192019.043.059.082.092.0113.0138.0148.0151.0157.0158.0155.0137.0109.089.079.070.060.053.045.026.67445.45768.60393.527117.186136.899150.897152.492159.935156.116148.242137.580125.282112.29899.35186.94775.40964.91455.53447.26519.062.0121.0203.0295.0408.0546.0694.0845.01002.01160.01315.01452.01561.01650.01729.01799.01859.01912.01957.069.365126.117207.160312.745440.207584.626739.855899.5521057.9701210.4301353.5201485.0501603.8601709.6601802.7501883.8401953.9102014.0402065.350从结果看计算比较精确。§3.3最优捕鱼策略1问题的提出：这是1996年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业等资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为（1龄鱼条数与产卵总量n之比）1.22×1011/(1.22×1011+n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期的前8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕用多媒体进行教学数学建模电子教案第6次课6捞能力（如鱼船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不防称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才能使总收获量最高。2、模型假设及符号说明（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。（2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生。（3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异。（4）假设产卵期鱼的自然死亡率发生于产卵之后。（5）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼。（6）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行。（7）假设t时刻i龄鱼的数量为)4,3,2,1()(itNi。（8）假设第k年初i龄的数量为)(0kiN；第k年底i龄鱼的数量为)(1kiN（i=1，2，3，4）。（9）假设鱼的自然死亡率为r；4龄鱼的平均产卵量为c。（10）假设第i龄鱼的平均重量为Mi（i=1，2，3，4）。（11）假设第k年度鱼的产卵总量为kQ。（12）假设对第i龄鱼的捕捞强度系数为bi；对i龄鱼的年捕捞量为ai（i=1，2，3，4）。（13）假设年总收获量为M，即M=M3a3+M4a4。（14）假设5年的总收获量为MM，即51iiMMM。3问题分析及数学模型由已知条件，可得510109.1;8.0cr99.22;86.17;55.11;07.54321MMMMEbEbbb4321;42.0;0，（E为捕捞努力量），r为自然死亡率，在[t，t+Δt]内，根据死亡率的定义，由于不捕捞1、2龄鱼，所以2,1,)()(1)()()(lim0idttdNtNttNttNtNriiii