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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2012高考数学名校全攻略专题复习练习题专题六第1讲直线、平面、棱柱、棱锥、球专题训练
第一部分专题六第1讲直线、平面、棱柱、棱锥、球(限时60分钟,满分100分)一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,共36分)1.下面命题中正确的是()A.有一侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱B.有两个侧面是正方形的棱柱是正棱柱C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.如果四棱柱的两个对角面都垂直于底面,那么这个四棱柱为直棱柱解析:选项D中,因为两个对角面都垂直于底面,所以它们的交线垂直于底面,而交线和棱柱的侧棱平行,所以侧棱和底面垂直,故四棱柱为直棱柱.答案:D2.如果直线l,m与平面α,β,γ满足β∩γ=l,l∥α,m⊂α,m⊥γ,那么必有()A.m∥β,且l⊥mB.α∥β,且α⊥γC.α∥β,且l⊥mD.α⊥γ,且l⊥m解析:因为m⊂α,m⊥γ,所以根据面面垂直的判定定理,得α⊥γ,由β∩γ=l,得l⊂γ,所以l⊥m.答案:D3.(精选考题·潍坊模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若α∥β,m⊂α,则m∥β;②若m∥α,n⊂α,则m∥n;③若α⊥β,m∥α,则m⊥β;④若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中为真命题的是()A.①③B.②③C.①④D.②④解析:①为空间面面平行的性质,是真命题;②m,n可能异面,故该命题为假命题;③直线m与平面β也可以平行,故该命题是一个假命题;④为真命题.答案:C4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:由题意知,在四边形ABCD中,CD⊥BD.在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD,AD∩DC=D,所以AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC.答案:D5.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:①弦AB、CD可能相交于点M;②弦AB、CD可能相交于点N;③MN的最大值为5;④MN的最小值为1.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:当AB,CD相交时,是一个球的一个截面圆的两条弦,由AB=28CD=48得,①是真命题,②是假命题;当以AB,CD为直径的两个小圆所在平面互相平行且在球心O的两侧时,MN最大,此时M,O,N三点共线,OM=42-72=3,ON=42-232=2.故MN的最大值为5;当以AB,CD为直径的两个小圆所在平面互相平行且在球心O的同侧时,MN最小,故MN的最小值为1,③,④是真命题.答案:C6.(精选考题·辽宁六校联考)如图是一个几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E、F分别为PA、PD的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④该几何体为正四棱锥.其中正确的有:()A.②③B.①②C.②④D.①④解析:将展开图还原为四棱锥,可知BE与CF相交,BE与AF异面,EF和平面PBC平行.又易知该几何体不一定为正四棱锥.所以,正确的结论为②和③.答案:A二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.)7.对于平面α和共面的直线m,n,下列命题是真命题的是________.①若m,n与α所成的角相等,则m∥n②若m∥α,n∥α,则m∥n③若m⊥α,m⊥n,则n∥α④若m⊂α,n∥α,则m∥n解析:若m,n与α所成的角相等,则m与n平行、相交,应排除①;若m∥α,n∥α,则m与n平行、相交,应排除②;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,应排除③.答案:④8.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的结论是________.(把你认为正确的结论都填上)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条.答案:①②9.如图,边长为a的正△ABC中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列命题,其中正确的命题有________.(填上所有正确命题的序号)(1)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;(2)三棱锥A′-FED的体积有最大值;(3)恒有平面A′GF⊥平面BCED;(4)异面直线A′E与BD不可能互相垂直.解析:由题意知AF⊥DE,∴A′G⊥DE,FG⊥DE,∴DE⊥平面A′FG,DE⊂面ABC,∴平面A′FG⊥平面ABC,交线为AF,∴(1)(3)均正确.当A′G⊥面ABC时,A′到面ABC的距离最大.故三棱锥A′-FED的体积有最大值.故(2)正确.当A′F2=2EF2时,EF⊥A′E,∵BD∥EF.∴BD⊥A′E,故(4)不正确.答案:(1)(2)(3)三、解答题(本大题共3小题,共46分.)10.(本小题满分15分)(精选考题·安徽高考)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求四面体B-DEF的体积.解:(1)证明:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点.连接EG,GH,由于H为BC的中点,故GH綊12AB.又EF綊12AB,∴EF綊GH,∴四边形EFHG为平行四边形,∴EG∥FH,而EG⊂平面EDB,FH⊄平面EDB,∴FH∥平面EDB.(2)证明:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC.而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG,∴AC⊥EG.又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B-DEF的高.∵BC=AB=2,∴BF=FC=2.又EF=1,∴VB-DEF=13×12×1×2×2=13.11.(本小题满分15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点.(1)求证:CD⊥平面A1ABB1;(2)求证:AC1∥平面CDB1.证明:(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴平面ABC⊥平面A1ABB1,∵AC=BC,点D是AB的中点,∴CD⊥AB,∵平面ABC∩平面A1ABB1=AB,∴CD⊥平面A1ABB1.(2)连接BC1,设BC1与B1C的交点为E,连接DE,则E为BC1的中点.∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1.∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.12.(本小题满分16分)如图1,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=2,∠ABD=90°,E是BD上一个动点,现将该平行四边形沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如图2所示.(1)若F、G分别是AD、BC的中点,且AB∥平面EFG,求证:CD∥平面EFG.(2)在(1)的条件下,当图1中AE+EC最小时,求三棱锥A—BEG的体积.解:(1)证明:∵AB∥平面EFG,平面ABD∩平面EFG=EF,∴AB∥EF.∵F是AD的中点.∴E是BD中点.又∵G是BC的中点.∴GE∥CD.∵CD⊄平面EFG,GE⊂平面EFG,∴CD∥平面EFG.(2)由图1知,当AE+EC最小时,E是BD的中点,∴GE∥CD,而CD⊥BD,∴GE⊥BD.∵BD=2,AB=1.∴GE=12,BE=22,∴VA—BEG=13×S△BGE×AB=13×12×12×22×1=224.1.给出下列命题:①若平面α上的直线m与平面β上的直线n为异面直线,直线l是α与β的交线,那么l至多与m、n中一条相交;②若直线m与n异面,直线n与l异面,则直线m与l异面;③一定存在平面γ同时和异面直线m、n都平行.其中正确的命题是()A.①B.②C.③D.①③解析:①错误,l可能与m,n两条都相交;②错误,直线m与l亦可共面;③正确.答案:C2.(精选考题·皖南八校)设α,β为互不相同的两个平面,m,n为互不重合的两条直线,且m⊥α,m⊥β,则“n⊥α”是“n⊥β”的________条件()A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要解析:∵m⊥α,m⊥β,∴α∥β,故易知“n⊥α”是“n⊥β”的充要条件.答案:C3.(精选考题·济南模拟)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;(2)在A1B1上是否存在一点P,使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行?证明你的结论.解:(1)证明:∵直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,∴AC=2,∠CAB=45°,∴BC=2,BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC.又BB1∩BC=B,BB1⊂平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.(2)存在点P,P为A1B1的中点,连结DP.由P为A1B1的中点,得PB1∥AB,且PB1=12AB.又∵DC∥AB,DC=12AB,∴DC∥PB1,且DC=PB1.∴DCB1P为平行四边形,从而CB1∥DP.又CB1⊂平面ACB1,DP⊄平面ACB1,∴DP∥平面ACB1,同理,DP∥平面BCB1.4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点.(1)求证:A1E=CF;(2)若E、F分别是棱AA1和CC1的中点,求证:平面EBFD1⊥平面BB1D1.解:(1)由题知,平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF、与平面ADD1A1交于ED1.又平面BCC1B1∥平面ADD1A1,∴D1E∥BF,同理BE∥D1F,∴四边形EBFD1为平行四边形,∴D1E=BF,∵A1D1=CB,D1E=BF,∠D1A1E=∠BCF=90°,∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF,∴A1E=CF.(2)∵四边形EBFD1是平行四边形.AE=A1E,FC=FC1,∴Rt△EAB≌Rt△FCB,∴BE=BF,故四边形EBFD1为菱形.连接EF、BD1、A1C1,∵四边形EBFD1为菱形,∴EF⊥BD1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有B1D1⊥A1C1,B1D1⊥A1A,∴B1D1⊥平面A1ACC1.又EF⊂平面A1ACC1,∴EF⊥B1D1.又B1D1∩BD1=D1,∴EF⊥平面BB1D1.又EF⊂平面EBFD1,故平面EBFD1⊥平面BB1D1.5.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)证明:BD⊥AA1;(2)证明:平面AB1C∥平面DA1C1;(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.解:(1)证明:连接BD,∵平面ABCD为菱形,∴BD⊥AC,由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,则BD⊥平面AA1C1C,故BD⊥AA1.(2)证明:由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质∵A1B1綊AB綊DC,∴四边形A1B1CD为平行四边形.∴A1D∥B1C,同理得AB1∥DC1,AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,由面面平行的判定定理知:平面AB1C∥平面DA1C1.(3)存在这样的点P满足题意.在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,∵B1B綊CC1,∴BB1綊CP,∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C,又由(2)知A1D∥B1C,∴BP∥A1D,又A1D⊂平面A
本文标题:2012高考数学名校全攻略专题复习练习题专题六第1讲直线、平面、棱柱、棱锥、球专题训练
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