不等式知识点总结及题型归纳

不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。如：xxx1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2abab1、若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号2、如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba变形：有:a+b≥ab2；ab≤22ba,当且仅当a=b时取等号3、如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值P2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值42S.注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解一、不等式与不等关系题型一：不等式的性质1、对于实数cba,,中，给出下列命题：①22,bcacba则若；②babcac则若,22；③22,0bababa则若；④baba11,0则若；⑤baabba则若,0；⑥baba则若,0；⑦bcbacabac则若,0；⑧11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2、设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小3、比较1+3logx与)10(2log2xxx且的大小4、若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.二、解不等式题型三：解不等式5、解不等式：04722xx01442xx6、解不等式2(1)(2)0xx。7、解不等式25123xxx8、不等式2120axbx的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____,b=_______9、关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为10、解关于x的不等式2(1)10axax题型四：恒成立问题11、关于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________12、若不等式22210xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.13、已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。三、基本不等式2abab题型五：求最值14、（直接用）求下列函数的值域1）y＝3x2＋12x22）y＝x＋1x15、（配凑项与系数）1）已知54x，求函数14245yxx的最大值。2）当时，求(82)yxx的最大值。16、（耐克函数型）求2710(1)1xxyxx的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。17、（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。18、（条件不等式）1）若实数满足2ba，则ba33的最小值是.2）已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。3）已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba22220、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc21、已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc题型七：均值定理实际应用问题：22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四、线性规划题型八：目标函数求最值23、满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk3的最大值24、已知实系数一元二次方程2(1)10xaxab的两个实根为1x、2x,并且102x,22x．则1ba的取值范围是25、已知,xy满足约束条件：03440xxyy,则222xyx的最小值是26、已知变量230,330.10xyxyxyy满足约束条件若目标函数zaxy（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。27、已知实数xy，满足121yyxxym，，．如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于题型九：实际问题28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习---不等式1、②③⑥⑦⑧；2、pq；3、当01x或43x时，1+3logx＞2log2x；当413x时，1+3logx＜2log2x；当43x时，1+3logx＝2log2x4、∵1ba∴0lg,0lgba21Q（pbabalglg)lglgQababbaRlg21lg)2lg(∴RQP。5、6、{|1xx或2}x；7、(1,1)(2,3)）；8、不等式2120axbx的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=___-6____,b=__6_____9、),2()1,(）.10、解：当a＝0时，不等式的解集为1xx；2分当a≠0时，a(x－a1)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－a1)(x－1)＞0不等式的解集为11xxxa或；.......................................................................................................6分当0＜a＜1时，1＜a1，不等式的解集为11xxa；.....................................................................8分当a＞1时，a1＜1，不等式的解集为11xxa；..........................................................................10分当a＝1时，不等式的解为φ．....................................................................................................................12分11、0≤x＜412、12m）13、,16m14、解：1）y＝3x2＋12x2≥23x2·12x2＝6∴值域为[6，+∞）2）当x＞0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x＜0时，y＝x＋1x=－（－x－1x）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）15、1）解5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。2）当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。16、解析一：当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。17、解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,