2015年高考数学《新高考创新题型》之8：解析几何(含精析)

Gothedistance之8.解析几何（含精析）一、选择题。1．如图，已知椭圆221:111xCy，双曲线22222:1yxCab(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A、5B、17C、5D、21472．如图所示，已知双曲线22221(0)xyabab的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若2AFFB，则该双曲线的离心率为（）A.324B.233C.305D.523．已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为2223xyy，直线l过点(1,0)且与Gothedistance直线10xy垂直.若直线l与圆C交于AB、两点，则OAB的面积为（）A．1B．2C．2D．224．方程02nymx与)0(122nmnymx的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（）二、填空题。5．圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:222210xyabab可以被认为由圆222xya作纵向压缩变换或由圆222xyb作横向拉伸变换得到的。依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为.Gothedistancexyb-baO-a6.若P0(x0，y0)在椭圆2222xyab＝1(a＞b＞0)外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是0022xxyyab＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线2222xyab＝1(a＞0，b＞0)外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是.7．我们把离心率215e的双曲线0,012222babyax称为黄金双曲线．如图是双曲线222222,0,01bacbabyax的图象，给出以下几个说法：①双曲线115222yx是黄金双曲线；②若acb2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,FF为左右焦点，21,AA为左右顶点，1B（0，b），2B（0，﹣b）且021190ABF，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN经过右焦点2F且21FFMN，090MON，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为．Gothedistance8．若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b，则称直线l：y＝kx＋b为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x2，φ(x)＝2elnx(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为.9．设,AB分别为椭圆:22221(0)xyabab的左右顶点,F为右焦点,l为在点B处的切线,P为上异于,AB的一点,直线AP交l于D,M为BD中点,有如下结论:①FM平分PFB;②PM与椭圆相切;③PM平分FPD;④使得PMBM的点P不存在.其中正确结论的序号是_____________.10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设AB、为两个定点，k为非零常数，||||PAPBk，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若1(),2OPOAOB则动点P的轨迹为圆；③设是ABC的一内角，且7sincos13，则22sincos1xy表示焦点在x轴上的双曲线；④已知两定点12(1,0),(1,0)FF和一动点P，若212||||(0)PFPFaa，则点P的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.三、解答题。Gothedistance11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2212412xy,设00(,)Rxy是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：22008xxyy作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为1k，2k，求证：12210kk；（3）试问22OPOQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．12．已知双曲线2222:10,0xyCabab，12,FF分别是它的左、右焦点，A1,0是其左顶点，且双曲线的离心率为2e.设过右焦点2F的直线l与双曲线C的右支交于PQ、两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线,APAQ分别与直线12x交于MN、两点，求证：22MFNF；（3）是否存在常数，使得22PFAPAF恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。Gothedistance13．如图，椭圆22221xyab(0)ab的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于,AB两点.AF的最大值是M，BF的最小值是m，满足234Mma.(1)求该椭圆的离心率；(2)设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于,DE两点，O是坐标原点.记GFD的面积为1S，OED的面积为2S，求1222122SSSS的取值范围.Gothedistance14．已知椭圆22122:1(0)xyCabab过点2(1,)2A，其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)xyabab，则椭圆在其上一点00(,)Axy处的切线方程为12020byyaxx，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为1C在第一象限中的任意一点，过B作1C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于,CD两点，求OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆222:182xyC上任意一点P作1C的两条切线PM和PN，切点分别为,MN．当点P在椭圆2C上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．Gothedistance∴直线l的方程为)(222cxbaaby，与xaby联立，可得2232baabcy或222baabcy，∵FBAF2，∴)32(222222baabcbaabc，∴ba3，∴c=2b，∴332ace．故选：B．3．A【解析】∵圆C的方程为2223xyy，即2214xy，∴圆C的圆心为0,1C，半径为2.∵直线l过点(1,0)且与直线10xy垂直∴直线:10lxy.∴圆心C到直线l的距离01122d.Gothedistance∴直线l被圆C截得的弦长22224222ABrd，又∵坐标原点O到AB的距离为001222d，∴OAB的面积为112221222SABd.4．A【解析】原方程可化为,2xnmy①11122nymx②；当nm,异号且nm0时，①为7．①②③④【解析】对于①，215,122ba，则235222bac，2222215235ace，215e，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，Gothedistanceacacb222，整理得012ee解得251e，所以双曲线是黄金双曲线；对于③2221222212211,,2caAFabABbcBF，由勾股定理得22222caabbc，整理得acb2由②可知251e所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于0,2cF，把cx代入双曲线方程得12222byac，解得aby2，abNF22，由对称关系知2ONF为等腰直角三角形，abc2，即acb2，由①可知251e所以双曲线是黄金双曲线.8．y＝2ex－e【解析】容易观察到h(x)和φ(x)有公共点(e，e)，又(x－e)2≥0，即x2≥2ex－e，所以猜想h(x)和φ(x)间的隔离直线为y＝2ex－e，下面只需证明2elnx≤2ex－e恒成立即可，构造函数λ(x)＝2elnx－2ex＋e.由于λ′(x)＝2eexx(x0)，即函数λ(x)在区间(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，故λ(x)≤λ(e)＝0，即2elnx－2ex＋e≤0，得2elnx≤2ex－e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y＝2ex－e.9．①②【解析】设00(,)Pxy，则PA的方程为：00()yyxaxa，令xa得00002(,),(,)ayayDaMaxaxa.Gothedistance对①，PF的方程为：00()yyxcxc即000()0yxxcyyc，所以点M到直线PF的距离为000002000022222222220020000002()|()|||||()()()()()aycxayaxcycacxaayayacxadxaxayxcaxbbaxaxcxca若PAPB，则PM为RtBDP的斜边中线，PMBM，这样的P有4个，故④不成立.10．②④【解析】对于①，由双曲线的定义可知，动点P的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由1()2OPOAOB，可知点P为弦AB的中点，连结CP，则有CPAB即CPPA，而,AC均为定点，所以P点的轨迹是以AC为直径的圆，所以②正确；对于③，Gothedistance由7sincos13两边平方可得4912sincos169，所以1202sincos169，因为是ABC的一个内角，可判断为钝角，所以sincos0且12017sincos12sincos116913，联立712sincossin1313175sincoscos1313，从而方程22sincos1xy为2211313125xy，表示焦点在y轴上的椭圆，所以③错误；对于④，设动点(,)Pxy，则由212||||(0)PFPFaa可得22222(1)(1)xyxya，将(,)Pxy代入等式左边可得222222222(1)()(1)()(1)(1)xyxyxyxya，所以动点P的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②④.11．（1）2222228xy；（2）12210kk；（3）定值为36．【解析】（1）因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以24ORr；再结合点R在椭圆C上，得到关于00,yx的方程组进行求解；（2）设出OQOP,的直线方程，利用直线与圆相切，得到21,kk与00,yx的关系；再根据00,yx在椭圆上，得出关系，整理即可；（3）分别联立两直线与椭圆的方程，得出QP,的关系，借助12210kk进行证明试题解析：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径22r，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以24ORr，即220016xy，①又点R在椭圆C上，所以220012412xy，②联立①②，解得0022,22.xy所以所求圆R的方程为2222228xy．（2）因为直线OP：1ykx，OQ：2ykx，与圆R相切，Gothedistance所以10021||221kxyk,化简得222010010(8)280xkxyky同理222020020(8)280xkxyky，所以12,kk是方程2220000(8)280xkxyky的两个不相等的实数根，22201220844228ybbacbbacckkaaax