【备考2014】2013高考数学-(真题+模拟新题分类汇编)-解析几何-理

-1-解析几何H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．H1，H5，H8[2013·新课标全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．20．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.y2－y1x2－x1＝－1.由此可得b2（x2＋x1）a2（y2＋y1）＝－y2－y1x2－x1＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y0x0＝12，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为x26＋y23＝1.(2)由x＋y－3＝0，x26＋y23＝1，解得x＝433，y＝－33或x＝0，y＝3.因此|AB|＝463.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n－533n3，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由y＝x＋n，x26＋y23＝1得3x2＋4nx＋2n2－6＝0，于是x3，4＝－2n±2（9－n2）3.-2-因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝439－n2.由已知，四边形ACBD的面积S＝12|CD|·|AB|＝8699－n2.当n＝0时，S取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.9．E5，H1[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥a（x－3）.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．29．B[解析]直线y＝a(x－3)过定点(3，0).画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2).作出直线y＝－2x，平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1a＝12.答案为B.H2两直线的位置关系与点到直线的距离8．H2[2013·湖南卷]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()图1－1-3-A．2B．1C.83D.438．D[解析]不妨设AP＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB为x轴，AC为y轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知△ABC的重心为G43，43，根据反射性质，可知P关于y轴的对称点P1(－m，0)在直线QR上，P关于x＋y＝4的对称点P2(4，4－m)在直线RQ上，则QR的方程为y－04－m＝x＋m4＋m，将G43，43代入可得3m2－4m＝0，即m＝43或m＝0(舍)，选D.12．H2，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0，1)B.1－22，12C.1－22，13D.13，1212．B[解析]方法一：易得△ABC面积为1，利用极限位置和特值法．当a＝0时，易得b＝1－22；当a＝13时，易得b＝13；当a＝1时，易得b＝2－113.故选B.方法二：(直接法)x＋y＝1，y＝ax＋by＝a＋ba＋1，y＝ax＋b与x轴交于－ba，0，结合图形与a0，12×a＋ba＋1×1＋ba＝12(a＋b)2＝a(a＋1)0a＝b21－2b.∵a0，∴b21－2b0b12，当a＝0时，极限位置易得b＝1－22，故答案为B.7．H2，H4[2013·重庆卷]已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.177．A[解析]如图，作圆C1关于x轴的对称圆C′1：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C2，N，P，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C2|－1－3＝52－4，故选A.图1－3-4-H3圆的方程20．H3，H10，H8，H5[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.20．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP||QM|＝Rr1，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24.当k＝24时，将y＝24x＋2代入x24＋y23＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0.解得x1，2＝－4±627.所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝187.当k＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.21．F2、F3、H3、H5，H8[2013·重庆卷]如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝22，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．-5-图1－921．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则（－c）2a2＋22b2＝1，从而e2＋4b2＝1.由e＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2＝16.故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x20＋81－x216＝12(x－2x0)2－x20＋8(x∈[－4，4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x20.因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以QP→·QP→′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y21＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得14x21－81－x2116＝0，解得x1＝±463，x0＝x12＝±263，从而|QP|2＝8－x20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为x＋2632＋y2＝163，x－2632＋y2＝163.H4直线与圆、圆与圆的位置关系9．H4[2013·江西卷]过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－39．B[解析]AB：y＝k(x－2)，k0，圆心到直线的距离d＝|－k2|k2＋11，得－1k0，|AB|＝21－d2＝21－k21＋k2，S△AOB＝12|AB|d＝2（1－k2）k2（1＋k2）2，－1k0，可得当k＝－33时，S△AOB最大．故选B.9．H4[2013·山东卷]过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()-6-A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝09．A[解析]方法一：设点P(3，1)，圆心为C，设过点P的圆C的切线方程为y－1＝k()x－3，由题意得|2k－1|1＋k2＝1，解之得k＝0或43，即切线方程为y＝1或4x－3y－9＝0.联立y＝1，()x－12＋y2＝1，得一切点为()1，1，又∵kPC＝1－03－1＝12，∴kAB＝－1kPC＝－2，即弦AB所在直线方程为y－1＝－2()x－1，整理得2x＋y－3＝0.方法二：设点P(3，1)，圆心为C，以PC为直径的圆的方程为()x－3()x－1＋y()y－1＝0，整理得x2－4x＋y2－y＋3＝0，联立x2－4x＋y2－y＋3＝0①，()x－12＋y2＝1②，①，②两式相减得2x＋y－3＝0.11．H7，H4[2013·新课标全国卷Ⅱ]设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x11．C[解析]抛物线焦点为Fp2，0，由抛物线的定义，设M5－p2，2p5－p2，设N点坐标为(0，2)．因为圆过点N(0，2)，故NF⊥NM2－p2×2p5－p2－25－p2＝－1，①设p5－p2＝t，则①式可化为t2－42t＋8＝0t＝22p2－10p＋16＝0p＝2或p＝8.图1－521．H4，H5[2013·浙江卷]如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取得最大值时直线l1的方程．-7-21．解：(1)由题意得b＝1，a＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝1k2＋1，所以|AB|＝24－d2＝24k2＋3k2＋1.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由x＋ky＋k＝0，x2＋4y2＝4.消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0.故x0＝－8k4＋k2，所以|PD|＝8k2＋14＋k2.设△ABD的面积为S，则S＝12·|AB|·|PD|＝84k2＋34＋k2，所以S＝324k2＋3＋134k2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1.7．H2，H4[2013·重庆卷]已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.177．A[解析]如图，作圆C1关于x轴的对称圆C′1：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C2，N