数学高二年级(上)沪教版(平面向量的分解定理与向量的应用)教师版

....学习参考年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题平面向量的分解定理与向量的应用教学目的1.了解平面向量基本定理的证明2.学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。教学内容【知识梳理】平面向量分解定理：如果21,ee是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数21,，使2211eea，我们把不平行的向量21,ee叫做这一平面内所有向量的一组基。证明唯一性：证明：（1）当0a时，21000ee（2）当0a时，假设1122aee，则有1122ee=1122ee111222()()0ee.由于21,ee不平行，故1122()0,()0，即1122,.注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量a在给出基底21,ee的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，21,是被a，21,ee唯一确定的数量。特别：.若OP＝12OAOB，则121是三点P、A、B共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是1。【典型例题分析】例1、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且bADaAB,，分别用ba,表示MCMBMA,,和MD.解：在平行四边形ABCD中，,baADABAC,baADABDB,2121)(2121babaACMA,2121)(2121babaDBMB)(2121baACMC，baDBMBMD212121....学习参考变式练习：已知OBOA,是不平行的两个向量，k是实数，且)(RkABkAP，用OBOA,表示OP.解：,ABkAP.)1()(OBkOAkOAkOBkOAOAOBkOAABkOAAPOAOP例2、证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC=a,AD=BC=b∵ABCD为菱形∴|a|=|b|∴ACBD=(b+a)(ba)=b2a2=|b|2|a|2=0∴ACBD证法二：设B(b,0)，D(d1,d2)，则AB=(b,0),AD=(d1,d2)于是AC=AB+AD=(b,0)+(d1,d2)=(b+d1,d2)BD=ADAB=(d1b,d2)∵AC•BD=(b+d1)(d1b)+d2d2=(d12+d22)b2=|AD|2b2=|AB|2b2=b2b2=0∴ACBD[说明]二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力.例3、对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.证明：分三种情况考虑.（1）当a、b共线且方向相同时，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|.（2）当a、b共线且方向相反时，∵a－b=a+（－b），a+b=a－（－b），利用（1）的结论有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|.（3）当a，b不共线时，设OA=a，OB=b，作OC=OA+OB=a+b，BA=OA－OB=a－b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|－|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.综上得证.此结论的运用：设22222222),(ccxyxbbyyxyxf，其中Rcb,，求),(yxf的最小值。CABDabO(A)BCD....学习参考例4、已知平行四边形中,、是对角线、上的两点，且，试用向量方法证明四边形也是平行四边形分析：由平面向量的基本定理可知向量及用一组基底来唯一表示,要证明四边形是平行四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步)证设,则,而.所以,四边形为平行四边形.例5、如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，AB=a,AC=b,AH=h,则BH=ha,CH=hb,BC=ba∵BHAC,CHAB∴0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbah∴AHBC又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点变式练习：已知O为△ABC所在平面内一点，且满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，求证：ABOC证：设OA=a,OB=b,OC=c,则BC=cb,CA=ac,AB=baABCDEFH....学习参考由题设：OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，化简：a2+(cb)2=b2+(ac)2=c2+(ba)2得：c•b=a•c=b•a从而AB•OC=(ba)•c=b•ca•c=0∴ABOC同理：BCOA,CAOB例6、已知向量(3,2),(2,1),(7,4)abc，是否能以,ab向量为平面内所有向量的一组基底向量？若能，是将c用这一基底向量表示出来，若不能，请说明理由。解析：,ab不共线，顾一定能以,ab为平面内的所有向量的基底向量，2cab例7、(1)有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直.又v水=AB=1，v船=AC=2，∠ADC=90°，∴∠CAD=45°.ABCD12答案：与水速成135°角的(2).如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上.∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）ABCWEF解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10N的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则CF=f1，CE=f2，CW=f，则∠ECW=180°－150°=30°，∠FCW=180°－120°=60°，∠FCE=90°.∴四边形CEWF为矩形.∴|CE|=|CW|cos30°=10·23=53，｜CF｜=|CN|cos60°=10×21=5.∴A处受力为53N，B处受力为5N.....学习参考例8、已知平面向量13(3,1),(,),22ab①证明：ab；②若存在不同时为零的实数k和t，使2(3),xatbykatb，且xy，试求函数关系式()kft；③根据（2）的结论，确定函数()kft的单调区间。解、（1）133(1)022ab因所以ab（2）21()(3)(0)4kftttt（3）递增区间(1,)、（－,1)，递减区间（－1,0）、（0，1）变式练习：已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，3sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y=OM·ON(O是坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)；⑵若x∈[0，2]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+6)的图象经过怎样的变换而得到．解：⑴y=OM·ON＝1+cos2x+3sin2x+a，得f(x)=1+cos2x+3sin2x+a；⑵f(x)=1+cos2x+3sin2x+a化简得f(x)=2sin(2x+6)+a+1，x∈[0，2]。当x＝6时，f(x)取最大值a＋3＝4，解得a＝1，f(x)=2sin(2x+6)+2。将y=2sin(x+6)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得f(x)=2sin(2x+6)+2的图象。【课堂小练】1、判断下列各题正确与否：1若a=0，则对任一向量b，有ab=0。(√)2若a0，则对任一非零向量b，有ab0。(×)3若a0，ab=0，则b=0。(×)4若ab=0，则a、b至少有一个为零。(×)5若a0，ab=ac，则b=c。(×)6若ab=ac，则b=c当且仅当a0时成立。(×)7对任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc)。(×)8对任意向量a，有a2=|a|2。(√)2、下列各组向量中，能成为平面内的一组基地向量的是(A)A、(2,1),(1,2)eeB、(2,1),(6,3)eeC、1(1,),(6,3)2eeD、(0,0),(1,2)ee3、已知：|a|=2，|b|=3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。....学习参考解：由题设：ab=|a||b|cos=3×2×22=3(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+(2+1)ab=32+11+3∵夹角为锐角∴必得32+11+30∴68511或685114、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且AB=4i+2j，AC=3i+4j，证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。解：AB=(4,2),AC=(3,4),则BC=(34,42)=(1,2),BA=(4,2),∴BABC=(1)×(4)+(2)×2=0∴BABC即△ABC是直角三角形|AB|=522422,|BC|=5)2()1(22,且B=90,∴S△ABC=5552215、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=21222||||||bbbaba∴=606、a、b为非零向量，当a+tb(tR)的模取最小值时，1求t的值2求证：b与a+tb垂直解：1|a+tb|2=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|∴当t=||||222bbabba时,|a+tb|最小2∵b•(a+tb)=a•b||||2bbab=0∴b与a+tb垂直【课后练习】1、若O是△ABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是△ABC的A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，则OD=OB+OC.....学习参考ABCDOE又OA+OB+OC=0，∴OB+OC=－OA.∴－OA=OD.∴O为AD的中点，且A、O、D共线.又E为OD的中点，∴O是中线AE的三等分点，且OA=32AE.∴O是△ABC的重心.答案：D2、如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：A．2ACAFBCB．22ADABAFC．ACADADABD．()()ADAFEFADAFEF其中真命题的代号是ABD（写出所有真命题的代号）．3、如图，在ABC△中，4AB，3AC，D是边BC的中点，则ADBC__72__．4、如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.ABCMABDECFCABD....学习参考证明：设AM=m，AB=b，AC=c，则m=2cb，m·m=2cb·2cb=41b2+21b·c+41c2=41AB2+41AC2+21AB·AC·cos∠BAC=41AB2+41AC2+21AB·AC·ACABBCACAB2222=41AB2+41AC2+41（AB2+AC2－BC2）.∴AM2=21AB2+21AC2－41BC2.又∵BC2=4BM2，∴AB2+AC2=2（AM2+BM2）.向量章节测试一、选择题1．已知,,ABaBCbCAc,则0abc是,,ABC三点构成三角形的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要