裂项证明不等式的若干形式(孙志业)

裂项证明不等式的若干形式孙志业近几年在全国各地的高考试题中出现了很多数列不等式的证明问题，而这些问题大多数涉及了放缩法证明不等式，放缩法证明不等式技巧性很高，对放缩的“度”也要求把握准确，所以放缩法证明不等式一直是一个难点.本文仅就利用裂项手段进行放缩的一些常见形式进行一点说明.一、设{}na为正项递增等差数列，22212111naaa的放缩因{}na为递增数列.于是有2222121122311111111nnnaaaaaaaaaa211223111111111[()()()]nnadaaaaaa1222111111111111().nadadaaadada同样有2221212231111111nnnaaaaaaaaa122311111111[()()()]nndaaaaaa1111111()nnndaaaa于是有11nnaa12222121111nadaaada若0(1,2,,)2idain，也可有如下形式的放缩：222111111111()()()22222iiiiiidddddaddaaaaa，22212122311111111111[()()()]222222nnnddddddaaadaaaaaa21111111112()2222ndddddaddaaa在具体问题中，需通过问题的结构，灵活处理，寻求更为恰当的放缩方式.例1：已知数列{}na的前n项和为nS，且21(21)nan，证明：14nS.证明：221111111()(21)(21)14(1)4(1)nannnnnn故1111111[(1)()()]42231nnkkSann111.4444n二、可变形为1111()nkkkaa的形式有些问题中，不是直接给出上述的形式，而通过一系列的变形可转化为裂项求和的形式.例2．已知数列{}na中，112a，21nnnaaa，证明：121112111naaa证明：∴2211nnnnnnaaaaaa,∵112a,故0na,所以10nnaa,所以na是单调递增.∵1(1)nnnaaa,∴111(1)nnnaaa=111nnaa,∴11111nnnaaa∴1121111aaa,2231111aaa,3341111aaa…11111nnnaaa令nS12231111111122nnaaaaaa三、设{}na为正项递增等差数列，*12111(,2)nnNnaaa的放缩因{}na为递增数列.于是有121211112222nnaaaaaa1122311222nnaaaaaaa21321112[()()()]nnaaaaaada1112()naada同理有1212111222222nnaaaaaa12231222nnaaaaaa213212[()()()]nnaaaaaad112()naad即有*111121211112()()(,2)nnnaaaanNnddaaaa特别地，令nan，则有112(11)1212nnn例3.已知：f(x)＝214x,数列{}na的前n项和记为nS,点nP(na,11na)在曲线()yfx上*()nN，且11a，0na奎屯王新敞新疆（I）求数列{na}的通项公式;（II）求证：NnnnSn,1142奎屯王新敞新疆这里只进行第（2）问的证明.由题设解出Nnnan，341于是23414341423422nnnnnan1112(411),243411nnknSnnNnn四．设{}na为正项递增等差数列，*33312111(,2)()()()nnNnaaa的放缩因{}na为递增数列.当*,2kNk时，有31111111111()()kkkkkkkkkaaaaaaaaa11111211()()kkkkkkkaaddaaaaa于是33312111()()()naaa311223112111111[()()()]()nndaaaaaaa31112()ada特别地，当nan时，有3113()nkk.五、设{}na为正项递增等比数列，公比为q，且0(1,2,)iamin，m为常数.则有1111()()()(1)knkkkqqamamaamq证明：11111()()()(1)kkkkkqqamamaqamam111111111().()()(1)()(1)knkkknqqqamamaqamamaamq例4．设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT（2006全国卷1第22题）我们来看第二问的解答：解:由(Ⅰ)求得an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=43×(4n－2n)－13×2n+1+23=13×(2n+1－1)(2n+1－2)=23×(2n+1－1)(2n－1)Tn=2nSn=32×2n(2n+1－1)(2n－1)=32×(12n－1－12n+1－1)所以,1niiT=321(ni12i－1－12i+1－1)=32×(121－1－12i+1－1)32.上述给出的各种裂项形式，在高考以及各地的模拟试题中频繁出现，应熟练掌握这些放缩形式.当然，在解题过程中，还需应用一些变形技巧，以达到裂项放缩的目的.