浙教版八年级上册第六章《一次函数》知识点及典型例题

1新浙教版八年级上册第六章《一次函数》知识点总结及典型例题关于基本概念和性质的知识点1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vts中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。★★★判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应例题：1、下列说法正确的是：（）A变量x，y满足y2=x，则y是x的函数B变量x，y满足x+3y=1，则y是x的函数C等式43πr3是所含字母r的函数D在V=43πr3中，43是常量，r是自变量，V是πr的函数例题：2、下列解析式中，y不是x的函数的是（）Ay+x=0B|y|=2xCy=2|x|Dy=2x2+4例题：3、下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（）函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。例题：东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．例题：平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．自变量取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围。确定函数自变量取值范围的方法：（1）必须使关系式成立。①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数；②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零；④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；（2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。（3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）A．y=2xB．y=12xC．y=24xD．y=2x·2x例题：函数y=32xx中自变量x的取值范围是___________.例题：已知函数221xy，当11x时，y的取值范围是（）xyOAxyOBxyODxyOC2A.2325yB.2523yC.2523yD.2523y3、一次函数（概念及待定系数数）自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k为任意不为零实数，b为任意实数）则此时称y是x的一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为任意不为零实数）定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。例题：1下列函数中：（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y=1x(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中，是一次函数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：确定一次函数的表达式已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）代入得2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②（3）解这个二元一次方程组，得到k，b的值。（4）写出这个一次函数的表达式。4、一次函数的图像（图象与性质）一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（bk，0）.b0b0b=0k0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小判断函数图象的位置例题：若m＜0,n＞0,则一次函数y=mx+n的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例题：一次函数y=kx+b满足kb0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3一次函数性质：1在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。2一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0），正比例函数的图像总是过原点。3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。4、特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等★★★当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）正比例函数性质解析式：y=kx（k是常数，k≠0），必过点：（0，0）、（1，k）走向：k0时，图像经过一、三象限；k0时，图像经过二、四象限增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴例题：正比例函数(35)ymx，当m时，y随x的增大而增大.例题：若23yxb是正比例函数，则b的值是（）A.0B.23C.23D.32例题：函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是()A.0kB.1kC.1kD.1k5、一次函数的简单应用：也就是应用它的概念、图象或性质解题确定字母系数的取值范围例题：已知正比例函数，则当m=______________时，y随x的增大而减小。比较x值或y值的大小例题：已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1y2，则x1与x2的大小关系是（）A.x1x2B.x1x2C.x1=x2D.无法确定例题：一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式，如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.例题：若关于x的函数1(1)mynx是一次函数，则m=，n.例题：y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）例题：将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.例题：若直线axy和直线bxy的交点坐标为(8,m),则ba____________.例题：已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）A．3m+1B．3mC．mD．3m－14拓展一下：正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）.直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.考点一：变量、常量及函数定义考点二、自变量取值范围考点三、函数的图像与解析式的关系：特别注意分段函数的解析式及图像考点四、一次函数和正比例函数的定义考点五、待定系数法——求函数解析式考点六、一次函数图像的位置考点七、一次函数的增减性考点八、两直线的位置关系考点九、用函数的观点看方程（组）、不等式5将考点与相关习题联系起来考点一：变量、常量及函数定义1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（）A.21yxB.21yxC.1yxxD.22yx2、下列各图中，不能表示y是x的函数图像的是（）考点二、自变量取值范围1、函数31xy的自变量x的取值范围是2、函数3xy的自变量x的取值范围是3、函数220xyx的自变量x的取值范围是4、小强在劳动技术课中要制作一个周长为10cm的等腰三角形．请你写出底边长y（cm）与一腰长x（cm）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．考点三、函数的图像与解析式的关系：特别注意分段函数的解析式及图像注意把握：（1）始点、终点、拐点的坐标及实际意义（2）每条线段（射线）的解析式、取值范围、实际意义（3）每个解析式中K的实际意义1、如图反映的过程是：晓明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家。其中t表示时间（分钟），S表示晓明离家的距离（千米），那么晓明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去时间是_______________分钟．你还能分析出什么？2、如图，已知蚂蚁以均匀的速度沿台阶A→B→C→D→E爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图像大致是（）DECBAthAthBthCthD63、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿ABCDA运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）4、某学校组织团员举行宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）A.45.2分钟B.48分钟C.46分钟D.33分钟5、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：（1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？(3）返回时平均速度是多少？6、如图表示，一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇的行驶速度分别是多少？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？考点四、一次函数和正比例函数的定义1、函数2(1)1kykxk是一次函数，则k值为_______________2、函数是12()mymmx正比例函数，则m值为_______________3、函数是22(4)(2)2ykxkxk正比例函数，则k值为_______________考点五、待定系数法——求函数解析式1、已知一次函数的图象过（3，-3）点，并且与直线yx43相交于x轴上一点，求此一次函数的解析式。123412ysO123412ysOs123412ysO123412yOA.B.C.D.第3题图7XYAPOBXYNBCOA