三角函数恒等变换与图像

三角函数的图像和性质1教学目标：1.了解正弦，余弦，正切函数的图像和画法；2.会用五点法画正弦，余弦函数和函数)sin(xAy的简图，理解,,A的物理意义；3.掌握由函数xysin的图像到函数)sin(xAy的图像的变换原理；4掌握正弦，余弦，正切函数的对称轴和对称中心5.掌握最小正周期与对称轴，对称中心之间的关系教学内容：1.三角函数的定义域2.正弦，余弦，正切函数的图像和画法3.用五点法画函数)sin(xAy的简图4.函数xysin的图像到函数)sin(xAy的图像的变换原理5.正弦，余弦，正切函数的对称轴和对称中心；6.最小正周期与对称轴，对称中心之间的关系重点难点：1.函数xysin的图像到)sin(xAy的图像的变换方法2.函数)sin(xAy的对称轴和对称中心3.最小正周期与对称轴，对称中心之间的关系教学过程设计：（一）主要知识：1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()yAx的简图.2.函数sinyx的图象到函数sin()yAx的图象的两种主要途径．3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.4.会由三角函数图象求出相应的解析式.（二）主要方法：1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()yAx的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2.给出图象求sin()yAxB的解析式的难点在于,的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，进而确定．三角函数的定义域、值域及周期如下表：函数定义域值域周期sinyxR[1,1]2cosyxR[1,1]2tanyx{|,}2xxkkZR三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数奇偶性单调区间sinyx奇在[2,2]22kk上增在3[2,2]22kk减()kZcosyx偶在[2,2]kk上增在[2,2]kk减()kZtanyx奇在(,)22kk上增()kZ（二）主要方法：1.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．写出符合下列条件的角x的范围。（1）1sin2x；（2）1cos2x；（3）10,sin2xx且1cos2x；（4）1|cos|2x；（5）1sin2x且tan1x．2.求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()yAxB的值域；③化为关于sinx（或cosx）的二次函数式；求下列函数的最值：(1)y=cos2x-4cosx+3（2)y=cos2x+3sinx––222323Oxy113.三角函数的周期问题一般将函数式化为()yAfx（其中()fx为三角函数，0）．再用公式:2T=4.单调性:函数sin()yAx(0,0)A的单调增区间可由2222kxk解出，单调减区间可由32222kxk解出；函数sin()yAx(0,0)A的单调增区间可由32222kxk解出，单调减区间可由2222kxk解出已知函数sin2sin2cos266fxxxx，求函数fx的最小正周期和单调增区间；5.奇偶性:sin()yAx为奇函数k；函数sin()yAx为偶函数2kcos()yAx为偶函数k；函数cos()yAx为奇函数2k已知函数f(x)=sin(2x+φ)为奇函数，求φ的值.设函数()2cos(sincos)1,fxxxx将函数()fx的图象向左平移个单位，得到函数()ygx的图象。（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若0,2且()gx是偶函数，求的值。6.对称性:1函数sin()yAx对称轴可由2xkkZ解出；对称中心的横坐标是方程xkkZ的解，对称中心的纵坐标为0.(即整体代换法)2函数cosyAx对称轴可由xkkZ解出；对称中心的纵坐标是方程2xkkZ的解，对称中心的横坐标为0.(即整体代换法)3函数tanyAx对称中心的横坐标可由2kxkZ解出，对称中心的纵坐标为0，函数tanyx不具有轴对称性.已知函数()sin(0)fxx的最小正周期为，则该函数的图象（）.A关于点0，对称.B关于直线x对称.C关于点0，对称.D.关于直线x对称已知函数sin6fxx0，若函数fx图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为3，则的值为．设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调增区间；求函数sin()yAx(0,0)A的最值问题，注意两种情况的不同11.已知函数()2cos(sincos)1fxxxx，xR．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）求函数()fx的最小值和最大值．（3）求函数()fx在区间π3π84，上的最小值和最大值．函数图象变换——注意变换顺序已知函数3sincos22xxyxR.1用“五点法”画出它的图象；2求它的振幅、周期和初相；3说明该函数的图象可由sinyx的图象经过怎样的变换而得到.将函数5sin(3)yx的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3，得到图象对应解析式是.A335sin()22xy.B735sin()102xy.C5sin(6)6yx.D35cos2xy由图象求三角函数的函数解析式（选择题用特殊带入法，排除法）函数sin()yAx)2,0(的部分图象如图所示，则函数表达式为（）.A)48sin(4xy.B)48sin(4xy.C)48sin(4xy.D)48sin(4xyyxO2446yxO6π2512π已知函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的部分图象如图所示.(Ⅰ)求函数()fx的解析式；(Ⅱ)如何由函数2sinyx的图象通过适当的变换得到函数()fx的图象,写出变换过程.课后练习1.为了得到函数Rxxy),63sin(2的图像，只需把函数Rxxy,sin2的图像上所有的点.A向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）.B向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）.C向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.D向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）2.若把函数yfx的图象沿x轴向左平移4个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象[上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐保持不变),得到函数sinyx的图象,则yfx的解析式为（）A.sin214yxB.sin212yxC.1sin124yxD.1sin122yx3.已知)0(),3sin()(xxf的图像与1y的图像的两相邻交点间的距离为，要得到()yfx的图像，只须把sinyx的图像（）A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向左平移6个单位D.向右平移6个单位4.函数)2||,0,0,)(sin()(ARxxAxf的部分图象如图所示，则)(xf的解析式是5.函数πsin23yx在区ππ2，的简图是6.已知函数()sincoscossinfxxx（其中xR，0）．（1）求函数fx的最小正周期；（2）若函数24yfx的图像关于直线6x对称，求的值．7.已知函数2π()sin3sinsin2fxxxx（0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间2π03，上的取值范围．yx1123O6.Ayx1123O6.Byx1123O6.Cyx261O13.D8.已知函数2()3sin(2)2sin()().612fxxxxR（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求使函数()fx取得最大值的x集合.9.已知函数2()2sincos2cosfxxxx（0xR，），相邻两条对称轴之间的距离等于2．（Ⅰ）求()4f的值；（Ⅱ）当02x，时，求函数)(xf的最大值和最小值及相应的x值．10.已知函数2sincoscos2fxxxx(xR).（1）求fx的最小正周期和最大值；（2）若为锐角，且283f，求tan2的值.11.已知函数xxxxxfcossin2)cos(sin3)(22．（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x，求()fx的值域和单调递增区间．学科12.已知函数2()23sincos2cos1()fxxxxxR（1）求()fx的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值；（2）若006(),,542fxx，求0cos2x的值。13.已知函数()sin()(0,0,)22fxAxA一个周期的图象如图所示，（1）求函数()fx的表达式；（2）若24()()325ff，且为ABC的一个内角，求sincos的值.