平面向量知识点

1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.4．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.6．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.7．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.8．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．9．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝a·a；(4)cosθ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.10．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.11．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.12．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝a·b|a|·|b|(θ为向量a，b的夹角)长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)《平面向量》单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列命题中的假命题是（）A、BAAB与的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。2．；；④；③∥；②是单位向量；①是任一非零向量，若1|b|0|a|ba|b||a|ba），其中正确的有（⑤baa||A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3．首尾相接能，，；命题乙：把命题甲：是任意三个平面向量，，，设cba0cbacba围成一个三角形。则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4．）的是（下列四式中不能化简为ADA、BCCDAB）（B、）（）（CDBCMBAMC、）（）（CBADABACD、CDOAOC5．），则（），（，），（设21b42aA、共线且方向相反与baB、共线且方向相同与baC、不平行与baD、是相反向量与ba6．如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BE32BGB、AG21DGC、FG2CGD、BC21FC32DA31ABCDEFG图17．）（，则锐角∥，且），（，），（设ba41cos1bcos12aA、4B、6C、3D、36或8．）所成的比是（分，则所成比为分若CBA3ABCA、23B、3C、32D、-29．）的范围是（的夹角与，则若ba0baA、)20[，B、)2[，C、)2(，D、]2(，10．ba4ab3baba的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设的模之比值为（）A、43B、34C、73D、74二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）11．。的取值范围是都是单位向量，则与若_________|ba|ba12．。表示和，则用中，△_________ADACABBC31BDABC13．，则，和，两点的坐标分别为、相等，且与，若，设)23()21(BAABa)4y3x3x(ax=。14．。，则，是共线向量，与设_________ba5|b|3|a|ba三、解答题：本题共4小题，每题10分，共40分15．已知),sin32),4(cos(),cos),4sin(2(xxbxxa记baxf)(.（1）求)(xf的周期和最小值；（2）若)(xf按m平移得到xy2sin2，求向量m.16．已知a、b是两个不共线的向量，且a=（cos，sin）,b=（cos，sin）（Ⅰ）求证：a+b与a－b垂直；（Ⅱ）若∈（4,4），=4，且|a+b|=516，求sin.17．设12121211222，32，其中且1.aeebeeeeeeee（1）计算||的值；ab（2）当为何值时与3互相垂直？kkabab18．已知向量a→＝(cos32x，sin32x)，b→＝(cosx2，－sinx2)，其中x∈[0，π2](1)求a→·b→及|a→＋b→|；(2)若f(x)＝a→·b→－2λ|a→＋b→|的最小值为－32，求λ的值参考答案一、1．D2．B3．B4．C5．A6．B7．A8．A9．D10．A二、11．［0，2］12．AC31AB32AD13．-114．±15三、15．16．解：（1）∵a=（4cos，3sin），b=（3cos，4sin）∴|a|=|b|=1又∵（a+b）·（a－b）=a2－b2=|a|2－|b|2=0∴（a+b）⊥（a－b）（2）|a+b|2=（a+b）2=|a|2+|b|2+2a·b=2+2·a·b=516又a·b=（cossinsincos）=53∴53)cos(∵)4,4(∴2＜＜0∴sin（）=54∴sin])sin[(=sin（）·cossin)cos(=1022253225417．解：.19k0133k31k50b3abak143e2e3e2eba13e2e3b5e2eab3bak31akb3abak2.5220|ba|20|ba|.1|e||e|.0ee.1eeeeeee16ee16e4e4e2|ba|121212212221222221212221212221212212得）（即）（）由（）（）（）（）（又）（）（）（）（，又）（）（18．解：(1)a→·b→＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，|a→＋b→|＝2＋2cos2x＝2cosx(2)f(x)＝a→·b→－2λ|a→＋b→|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－1－4λcosx＝2(cosx－λ)2－2λ2－1注意到x∈[0，π2]，故cosx∈[0，1]，若λ＜0，当cosx＝0时f(x)取最小值－1。不合条件，舍去.若0≤λ≤1，当cosx＝λ时，f(x)取最小值－2λ2－1，令－2λ2－1＝－32且0≤λ≤1，解得λ＝12，若λ＞1，当cosx＝1时，f(x)取最小值1－4λ，令1－4λ＝－32且λ＞1，无解综上：λ＝12为所求.