第十章-图形的相似-综合测试题(含答案)

1图1图2图3图4CADBADEBC第十章图形的相似综合测试题（满分120分时间100分钟）一、选择题(每题3分，共30分)1．已知x:y=2:3，则(x+y):y的值为（）Ａ．2:5Ｂ．5:2Ｃ．5:3Ｄ．3:52．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是()A．菱形的各角扩大为原来的2倍B．菱形的边长扩大为原来的2倍C．菱形的对角线扩大为原来的2倍D．菱形的面积扩大为原来的4倍3．下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；③两个等边三角形一定相似；④任意两个矩形一定相似．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别是1和3，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是()A．2B．22C．26D．335．地图上的比例尺为1：200000，小明家到单位的图距为20cm，小明骑自行车从单位到家用了4小时，他骑自行车的平均速度为每小时()A．40000米B．4000米C．10000米D．5000米6．两个相似三角形的最长边分别是35和14，它们的周长差是60，则大三角形的周长为（）A．80B．36C．40D．1007．如图1，已知D、E分别是△ABC的的AB、AC边上的一点，DE∥BC，且△ADE与四边形DBCE的面积之比为1:3，则AD:AB为（）A．1:4B．1:3C．1:2D．2:38．如图2，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，腰BA、CD的延2图7ABCDEACODB图5ＡＥＢＣＤ图6图8ABECD图9AEDFCB图10长线相交于M，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图3，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图.已知桌面半径为0.6米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（-）A．0.36米2B．0.81米2C．2米2D．3.24米210．如图4，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD·DB；②AC2=AD·AB；③CDAC=BDAB．其中一定成立的有（）A．3个B．1个C．2个D．0个二、填空题（每小题3分，共24分）11．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到倍，其面积扩大到倍．12．已知两个数2、12，请再写一个数，使其中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是(只需填写一个数)．13．如图5，已知OB=4，OA=8，OC=6，则当OD=时，AC∥BD．14．如图6，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且23AEADACAB，若DE=4，则BC=．15．如图7，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DE//AB，则AB=米．16．如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA与CD的延长线相交于P，PF⊥BC，AD=3.6，BC=6，EF=3，则PF=_____．17．顶角为36º的等腰三角形为黄金三角形，如图9，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=_____（精确到0.001）．18．如图10，在矩形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于F，连接BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是．319．在△ABC中，AB=AC，∠A=36º，以点A为位似中心把△ABC放大2倍后得到△A1B1C1，则∠B1=_____º．20．已知等边△A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中位线又组成△A3B3C3，…，以此类推，得到△AnBnCn，则△A3B3C3的边长为；△AnBnCn的边长为．（其中n为正整数）三、解答题(共60分)21．(8分)如图11，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=º，BC=；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论．22．(8分)如图12，△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E，若AD∶DB=2∶3，AC=15，求DE的长．23．(10分)一天晚上，身高1.6米的小明站在路灯下，发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时，发现自己的影子恰好是5块地砖的长，根据这个发现，他就算出了路灯的高度，你知道他是怎么算的吗？24．(10分)阅读下列短文：图13-1所示的是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比．图12ADEBCABFEDC图11图13-23a3b3c5a5b5c图13-1(甲)(乙)4QDACBP图14图15-1图15-2DFEBCAMDACBFEGH解：长方体(甲)的体积是3a·3b·3c=33abc，长方体(乙)的体积是5a·5b·5c=53abc，所以长方体(甲)与长方体(乙)的体积的比是33abc∶53abc＝33∶53=(3︰5)3，所以，相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．请仿上例解答下题：鱼是一种高蛋白食物，所以谁都希望买到价廉物美的鱼．假定现在市场上出售同一种鱼(体形是相似形)，以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图13-2所示)，那么买哪种鱼更便宜呢？25．(12分)如图14，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？26．(12分)有一块两条直角边BC、AC的长分别为3厘米和4厘米的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个面积尽最大的正方形，甲、乙两位师傅加工方案分别如图15-1和图15-2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）．5ECAODBP参考答案一、1．C2．A3．C4．A5．C6．D7．C8．B9．B10．B二、11．5，2512．2613．314．615．8016．7.517．0.38218．△DEF19．72º20．41，121n三、21．解：（1）135，22；（2）△ABC∽△DEF．证明：由图可知∠FED=∠ABC=135º，因为AB=2，BC=22，EF=2，DE=1211=2，而EFBC=2，DEAB=2，即EFBC=DEAB，所以△ABC∽△DEF．22．解：因为AD∶DB=2∶3，所以AD∶AB=2∶5．因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以AE∶AC=AD∶AB=2∶5．因为AC=15，所以AE=6．因此CE=9．易证CE=DE，所以DE=9．23．解：根据意，画出示意图．其中身高AB=CD=1.6米，影长AC=2米，CE=2.5米，设路灯的高度为x米．因为OP∥AB，所以△ABC∽△OPC，所以ABOP=ACOC，即6.1x=2OC，则OC=45x．因为OP∥CD，所以△CDE∽△OPE，所以CDOP=CEOE，即6.1x=5.2OE，则OE=1625x．又因为OE－OC=CE，所以1625x－45x=2.5，解得x=8．所以路灯的高度为8米．24．解：A与B相似比为13∶10，A与B体积之比197.210002197101333．而其价格比是1.5∶1=1.5，A的体积是B的2.197倍，买大鱼A比买小鱼B合算．25．解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6－t．显然，当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6－t=2t，解得t=2．6所以当t为2秒时，△QAP为等腰直角三角形．（2）△QAC的面积=21QA·DC=21·(6－t)·12=36－6t．△APC的面积=21AP·BC=21·2t·6=6t．所以四边形QAPC的面积=△QAC的面积+△APC的面积=36－6t+6t=36(平方厘米)．由计算结果发现在P、Q移动过程中，四边形QAPC的面积保持不变．（3）应分两种情况讨论：①当ABQA=BCAP时，△QAP∽△ABC，则126t=62t，解得t=1.2．所以当t为1.2秒时，△QAP∽△ABC；②当BCQA=ABAP时，△PQA∽△ABC，则66t=122t，解得t=3．所以当t为3秒时，△PQA∽△ABC．26．解：如图15-1，设正方形边长为x厘米，则AD=4－x．因为DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，所以ACAD=BCDE，即34x=3x．所以x=712．所以正方形CDEF的面积=(712)2平方厘米．如图15-2，设正方形边长为y厘米，过点C作CH⊥AB，垂足为H，交DE于M．因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB，所以ABDE=CHCM，因为AB=5243=5．又AC·BC=AB·CH，所以CH=543=512，CM=CH－y=512－y．所以5y=512512y，所以y=3760．所以正方形DEFG的面积=(3760)2．因为712＞3760，所以(712)2＞(3760)2，所以甲师傅加工的方案符合要求．