正项级数敛散性的判断及其应用

I正项级数敛散性的判断及其应用摘要级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分,敛散性问题级数理论的一个基本问题，判别正项级数敛散性的方法很多.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法;简单介绍了它们强弱性关系,给出了典型例题验证上述判别法的有效性.关键词正项级数；判别法；敛散性TheConvergenceTestsandApplicationforSeriesofPositiveTermsAbstractHigherMathematicsseriesisanimportantpartofteaching,TheseriesofpositivetermsisanimportantseriesPart,PositiveidentificationofConvergenceandDivergenceofmanyways.Thispaperhassummarizedavarietyofconvergencejudgemethodsforpositivetermsseries,includingcomparisonprincipleanditsextension,integratedjudgemethodanditsextension,derivatejudgemethodandjudgemethodsofgeneralseries,somefamoustestssuchasCauchyTest,D’AlembertTest,KummerTestandGaussTestcomefromComparisonprinciple;givenabriefintroductionoftheirweekandstrongrelationshipofconvergence,setexamplesforidentifyingtheeffectivenessofthesejudgemethods.Keywordspositivetermsseries;judgemethods;convergence11前言历史上，人们曾把无穷个实数相加12nuuu看成无穷个数的和.恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人接受.在《庄子·天下篇》中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭”，把每天截下的那一部分的长度加起来：2311112222n，从直观上看，它的和是1，但是下面“无限个实数相加”111111的和是多少？如果写成(11)11(11)00其结果是0.如果写成1(11)(11)(11)100其结果是1.两个结果完全不同.因此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”？如果存在,“和”是多少？十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和”的不同结果.例如莱布尼兹认为这个“和”是0到1之间的一个数.他论证说，这个级数前n项和形成一个数列12341,0,1,0,SSSS，其中0和1出现的机会相同，因此取它的平均数01122为这个级数的和.这一说法得到了著名数学家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做过如下论证：既然111111是2一个数，记为S，由于11(1111)1111SS，即为1SS，得12S.大数学家欧拉(Euler)也主张用等比公式：23111qqqq，把1q代入得到111+112，他用同样的讨论得到其他的一些结果.例如把2q代入得112483，而这些结果现在看起来都是荒谬的.后来人们认识到“无穷多个数相加”，这是一个根本无法操作的过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加.经过很长一段时间，数学家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充分地发展.无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级数首要的重要性质.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收敛.若数项级数各项符号都相同称为同号级数.对于同号级数，只须研究各项是正数组成的级数---正项级数.定义在区间I的函数项级数1nnux，当在I内任意取定一点0x时,便得到一个数项级数.自然,对函数项级数的研究极大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最基础的级数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数敛散性判别法，在函数项级数如幂级数收敛半3径求解，函数项级数一致收敛Weierstrass判别法(M判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性.1正项级数的定义和收敛的充要条件1.1正项级数的定义如果级数1nnu中各项均有0nu,这种级数称为正项级数.1.2正项级数收敛的充要条件如果级数1nnu中，部分和数列nS有界，即存在某正数M，对0,n有nSM.2比较判别法及其推广2.1比较判别法【1】设nu和nv是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切nN都有nunv，那么(1)若级数nv收敛，则级数nu也收敛；(2)若级数nu发散，则级数nv也发散.推论：比较判别法的极限形式：设nu和nv是两个正项级数.若limnnnulv，则（1）当0l时，nu和nv同时收敛或同时发散；（2）当0l时，若级数nv收敛，则级数nu也收敛；（3）当l，若级数nv发散，则级数nu也发散.4定理2.11（达朗贝尔判别法或比值判别法）设为nu正项级数，且存在某正整数0N及常数(01)qq（1）若对一切0nN，成立不等式1nnuqu，则级数nu收敛；（2）若对一切0nN，成立不等式11nnuu，则级数nu发散.推论2.21（达朗贝尔判别法的极限形式）设1nnu为正项级数，且1limnnnuqu，则(1)当1q时，级数1nnu收敛；(2)当1q或q时，级数1nnu发散.推论2.3[4]若为nu正项级数，则（1）当1lim1nnnuu时，级数nu收敛；（2）当1lim1nnnuu时，级数nu发散.例2.1讨论级数1111110,0,0!11nnnnn的敛散性.解令1111!11nnnunn，则5111111limlimlim11nnnnnnnnnnnnnueenneunneenn，所以,当11时，即0时，1nnu收敛，故原级数收敛；当11时，即0时，1nnu发散，故原级数发散.例2.2讨论级数1!nnnnne的敛散性.解令!nnnnune，1111!!111nnnnnnnnnnnneuneHunenn，则20001ln1111limlnlim1ln1lim1ln11ln1limlim11lim212nnnnxxxnnHnnnnxxxxxxx.则12limnnHee，由推论2.3得级数1!nnnnne发散.定理2.21（柯西判别法）设1nnu为正项级数，且存在某正整数0N及正常数l,(1)若对一切0Nn，不等式1lunn成立，则级数1nnu收敛;(2)若对一切0Nn，不等式1nnu成立，则级数1nnu发散.6推论2.41（柯西判别法的极限形式）设1nnu为正项级数，且limnnnul.则(1)当1l时，级数1nnu收敛；(2)当1l时，级数1nnu发散.定理2.32设1nnu为正项级数，若2211limlimnnnnnnuuuu，则当21时，1nnu收敛;当21时，1nnu发散.证明当21时，取0，使121srs，则212nsnuru，21112nsnuru.取snnb1，则21111limlim212snsnnnbnbn，21limlim22snsnnnbnbn，由极限保号性得rbbnn112，2nnbrb，故112112nnnnuubb，nnnnuubb22，而1nnb收敛，由引理2.3知1nnu收敛；当21时，由2211limlimnnnnnnuuuu，对任意的0当n充分大时，有2nnuu与211nnuu，取11nbn，则2111limlim22nnnnbnbn，211limlim212nnnnbnbn，对任意的0当n充分大时，7有2111122nnbb与21122nnbb，取1202，则当n充分大时，有22nnnnbubu，212111nnnnbubu，由引理2.2知1nnu发散.例2.3判断正项级数21lnnnn的敛散性.解212ln1limlim11lnnnnnnnaann，故由达朗贝尔判别法无法判断，而222ln211limlim422lnnnnnnnaann，221211ln2111limlim4221ln1nnnnnnaann，由定理2.3得21lnnnn收敛.推论2.53设1nnu为正项级数，若1lim0,1,21kninnuiku,当k1时，1nnu收敛，当1k时，1nnu发散.推论2.63设1nnu为正项级数，若1lim1nnnuu且2limnnnuu，则当21时，1nnu收敛；当21时，1nnu发散.推论2.73设1nnu为正项级数，且1limnnnuu，若1,则2211limlim0nnnnnnuuuu；若1，则2211limlimnnnnnnuuuu.3积分判别法引理3.11正项级数1nnu收敛的充要条件是：部分和数列nS有界，即存在某正整数M，对一切正整数n有MSn.8定理3.11设f为,1上非负递减函数，那么正项级数)(nf与反常积分dxxf1)(同时收敛或同时发散.例3.1讨论级数21lnpnnn的敛散性.解由定理3.1知级数与反常积分2lnpdxxx具有相同的敛散性，而22ln=lnlnpppInndxdxduuxxx，当1p时收敛，当1p时发散.故当1p时级数收敛，当1p级数时发散.定理3.25设函数xf是单调递减的正值函数，如果存在充分大的N，当Nx时，有xfefexx，则当01时，级数)(nf收敛；若xfefexx，级数)(nf发散.证明当Nx时，有xfefexx，对任意正数1nxxx，有d