五年级奥数几何专项十--勾股定理与弦图(三)

第1页共18页华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2课前预习专项十勾股定理与弦图（三）第2页共18页点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．第3页共18页句股各自乘，并，而开方除之，即弦。勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：22222142.ABCDSabcababc正方形（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：22222142.Scabababc正方形EFGH（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCDababSabc梯形222.abcDCBAGFEH第4页共18页勾股定理:直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。勾股定理实际上包含两方面的内容：1.如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方；②如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形．勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。弦图：1.会用勾股定理解决简单问题。2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形3.勾股定理与弦图的联系与应用【例1】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为知识框架重难点例题精讲GFEHCAB图2cba第5页共18页【巩固】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。【例2】已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。ABCD7cmABCD第6页共18页【例3】在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？【巩固】如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？【例4】从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？ABCD第7页共18页【巩固】从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？【例5】如图,P是正方形ABCD外面一点,船为12厘米.△APB的面积是90平方厘米，ACPB的面积是48平方厘米．请你回答:正方形ABCD的面积是多少平方厘米?第8页共18页【巩固】有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34cm。求这个长方形的面积。【例6】.如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，四边形EFGH的面积是94.5.已知EG=15,FH=13,求正方形ABCD的面积．第9页共18页【巩固】如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS的面积之比。【例7】.如图,一张长14厘米,宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的纸片?怎样裁?请画图说明．第10页共18页【巩固】三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图7-15，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积？【例8】.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?第11页共18页【巩固】已知两数的和为3，两数的积为1.25，求两数？第12页共18页【例9】.如图,A在线段BG上,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为7和11.求三角形CDE的面积的平方值?【巩固】(第8届华罗庚金杯赛小学组第一试决赛试题第4题)如图32-6(b),平面上CDEF是正方形,ABCD是等腰梯形,它的上底肋为23厘米,下底口C为35厘米.求三角形ADE的面积．第13页共18页【例10】园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由．第14页共18页【巩固】一个长方形若能分割成大小不一样的小正方形，则称它为完美长方形。下图完美长方形可以分割成9个小正方形，其中小正方形A和B的边长分别为5厘米和9厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？1、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图）如果小正方形的面积是1平方米，大正方形的面积是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角边长度是米。2、请问下图正方形的面积是平方厘米。课堂检测第15页共18页3、如图7-4，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，他们的面积分别是103平方米、52平方米、51平方米和101平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？根据直角三角形计算出三角形中第三边的长度，在计算时可以借助分解质因数，或者根据三遍关系判断是直角三角形；有直角的通过加辅助线构造直角三角形；通过对弦图进行观察分析得出构成弦图的直角三角形两直角边的关系，始终要有方程意识复习总结第16页共18页1、左下图中有三个直角三角形。请问x=厘米。2、用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，如右图.边框的周长为264厘米.里边小正方形的面积为900平方厘米，问每块长方形条砖的长和宽各是多少厘米？家庭作业第17页共18页3．如下图所示，红、黄、绿三块大小一样的正它们方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合，已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10，那么，正方形盒子的底面积是__________．(2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第17题)4．如图:长方形的面积是小于100的整数，他的内部由三个边长是整数的正方形，正方形①的边长是长方形长的，正方形②的边长是长方形宽的，那么图中阴影部分的面积是多少？红黄绿12581①②第18页共18页5．在直角边为3与4的直角三角形各边上向外作正方形，三个正方形顶点连接如图所示的六边形ABCDEF，则这个六边形的面积是_______________．6．以三角形ABC的两条边为边长，做两个正方形BDEC和ACFG．已知三角形ABC与正方形BDEC的面积比，以及正方形BDEC和ACFG的边长的比都是3：5，求三角形CEF与整个图形面积的最简整数比是多少？ABCDEF34DEFGCBA