高一数学-集合间的基本关系

1．1.2集合间的基本关系1．集合的表示方法有、．2．元素与集合间的关系用符号或表示．3．两个集合相等是指．列举法描述法∈∉构成集合的元素相同概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.AB(或B____A)1．子集、真子集、集合相等的概念任意一个⊆⊇真子集如果集合A⊆B，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集.AB(或BA)集合相等如果，那么就说集合A与集合B相等.A＝Bx∈B且x∉AA⊆B且B⊆A2.空集(1)定义：的集合，叫做空集．(2)用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的．3．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的_______，即.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么.不含任何元素子集子集A⊆AA⊆CØ1．能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？【提示】不能．这是因为当A＝Ø时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所以上述理解是错误的．2．包含关系{a}⊆A与从属关系a∈A有什么区别？【提示】两者的区别是(1)从符号上看，“⊆”表示的是两个集合之间的关系，“∈”表示的是元素与集合之间的关系；(2){a}是有一个元素的集合，而a通常表示一个元素；(3){a}⊆A表示{a}是A的一个子集，而a∈A表示a是A的一个元素．两集合相等若1，a，ba＝{0，a2，a＋b}，则a2009＋b2010的值为______．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①两集合都含有3个元素且相等．②解答本题可从特殊元素0着手，结合集合元素的特性求解．【解析】∵1，a，ba＝{0，a2，a＋b}，∴0∈1，a，ba.∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}，∴a2＝1，a＝±1.当a＝1时，不满足互异性，∴a＝－1.∴a2009＋b2010＝－1.【答案】－1(1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．(2)若两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等．1.设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A＝B，求a的值．【解析】由集合相等的概念得a2－1＝0a2－3a＝－2，解得a＝1.写出满足{a，b}A⊆{a，b，c，d}的所有集合A.【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①集合{a，b}，{a，b，c，d}已知；②集合A满足{a，b}A⊆{a，b，c，d}；③求集合A.解答本题可根据子集、真子集的概念求解．【解析】由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个．故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键．(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象．(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意空集Ø和集合本身易漏掉．2.若{a，b}⊆A{a，b，c，d}，写出所有集合A.【解析】由题意知A是集合{a，b，c，d}的真子集又A包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，最多含有3个元素．故满足条件的集合有{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．已知集合A＝{x|－3x4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①集合A是一个定集合，可以在数轴上标出其取值范围；②集合B是一个动集合，其范围随参数m的变化而变化．解答本题可先求出集合A中变量x的取值范围，此时需注意对参数m进行讨论，然后借助于数轴分析A⊆B成立的条件．【解析】∵B⊆A，①当B＝Ø时，m＋12m－1，解得m2；②当B≠Ø时，有－32m－1m＋14m＋1≥2m－1，解得－1m≤2.综上可知m的取值范围是{m|m－1}．(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．3.本例中，若将“B⊆A”改为“A⊆B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？【解析】显然A≠Ø，又A⊆B，∴B≠Ø，如图所示，∴2m－1m＋12m－1≤－3m＋1≥4，解得m∈Ø.1．子集、空集的概念的理解(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合。如A＝Ø，则集合A不含B中的任何元素．(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}．2．∈与⊆、a与{a}、{0}与Ø的区别(1)∈与⊆的区别：∈表示元素与集合之间的关系，因此，有13∈Q，33∉Q等；⊆表示集合与集合之间的关系，因此，有Q⊆R，Ø⊆R等．(2)a与{a}的区别：一般地，a表示一个对象，而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集)，a是集合{a}的一个元素．因此有2∈{2}，不能写成2＝{2}．(3){0}与Ø的区别：{0}是含有一个元素的集合，Ø是不含任何元素的集合．因此，有Ø⊆{0}，不能写成Ø＝{0}，Ø∈{0}．3．两集合相等的证明若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、B是无限集时，欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立即可．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且，求m的值．【错解】A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵，∴mx＋1＝0的解为－3或2.当mx＋1＝0的解为－3时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝13；当mx＋1＝0的解为2时，由m·2＋1＝0得m＝－12.综上所述，m＝13或m＝－12.【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．原因是考虑不全面，由集合B的含义及BA，忽略了集合为Ø的可能，而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现Ø的可能．【正解】A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵，∴当B＝Ø时，m＝0适合题意．当B≠Ø时，方程mx＋1＝0的解为x＝－1m，则－1m＝－3或－1m＝2，∴m＝13或m＝－12.综上可知，所求m的值为0或13或－12.