第1章刚体转动动力学基础-文档资料

2020/8/111第一章刚体定点转动的力学基础2020/8/112§1.1刚体的角位置与角速度描述方法刚体如果有某些不为零的力或力系作用在一个系统的某些质点或所有质点上，并且对于任意时刻，系统两点之间的距离始终保持，则该系统称为刚体。刚体坐标系固结在刚体上的坐标系。刚体系相对参考坐标系的位置和运动，可以描述刚体相对参考坐标系的位置和运动。2020/8/113§1.1刚体的角位置与角速度描述方法自由刚体的运动自由度三个平动自由度和三个转动自由度（即六自由度）。2020/8/114自由刚体位置和运动的描述：用刚体上三个非共线的点的位置和运动来描述。定轴转动刚体：刚体上的两点相对于参考坐标系固定，失去平动的自由，只能绕该轴转动。定点转动刚体：刚体上的一点相对于参考坐标系固定，失去平动的自由，只能绕该点转动。§1.1刚体的角位置与角速度描述方法2020/8/115§1.1刚体的角位置与角速度描述方法2020/8/116一质点的位置向量及其表示方法§1.1刚体的角位置与角速度描述方法广义坐标列向量表示方向余弦一个空间自由质点相对参考系的位置，可以用三个独立参数来表示，也可以用多于三个的不完全独立的参数来表示，后者必须满足约束条件。2020/8/117二定点转动刚体角位置的广义坐标表示§1.1刚体的角位置与角速度描述方法三个非共线向量的广义坐标自由刚体六个参数独立定点刚体三个参数独立2020/8/118§1.1刚体的角位置与角速度描述方法三定点转动刚体角位置的方向余弦描述采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3×3的矩阵），可以确定刚体的角位置。nxnynzbxbybz11cos(,)bncxx12cos(,)bncxy13cos(,)bncxz21cos(,)bncyx22cos(,)bncyy23cos(,)bncyz31cos(,)bnczx32cos(,)bnczy33cos(,)bnczz2020/8/119111213212223313233cccccccccbnC三定点转动刚体角位置的方向余弦描述对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，反之亦然。112131122232132333cccccccccnbC§1.1刚体的角位置与角速度描述方法2020/8/1110方向余弦矩阵的应用：坐标变换及基本公式讨论：nnbbRCRbbnnRCRtbptGpnGnbCCCCCcos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)bnbnnbnnbnbnbnnbnnbnbnbnnbnnbnxxyzyxyzzxyzxxxyxzyxyyyzzxzyzz2020/8/1111讨论：方向余弦矩阵的性质（1）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵（2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵（3）方向余弦矩阵是正交矩阵约束方程2020/8/1112方向余弦矩阵的约束方程222111213222212223222313233112112221323113112321333312132223323111000ccccccccccccccccccccccccccc讨论：2020/8/1113四定点转动刚体角位置的欧拉角描述nnIIIbIIIbCCCC§1.1刚体的角位置与角速度描述方法选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。依次三次转动，第三次转动的转动轴选取不同，产生两类欧拉角。bbIIInIIInCCCC2020/8/1114第Ⅰ类欧拉角(转动顺序为：Z-X-Z)cos-sin0100cos-sin0sincos00cos-sinsincos00010sincos001cos-sincossinsincos-sin0sincoscos-cossinsincos00sincos001coscnbCossincossincossinsincoscossinsinsincoscoscossin-sinsincoscoscos-cossinsinsinsincoscos四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2020/8/1115第Ⅰ类欧拉角的线性化1-()0()1-01nbC四定点转动刚体角位置的欧拉角描述对于无限小角度转动，第Ⅰ类欧拉角的三个参数不再独立。2020/8/1116第Ⅱ类欧拉角（转动顺序为：X-Y-Z）四定点转动刚体角位置的欧拉角描述coscoscossinsinsinsincoscossinsinsinsincoscos-sincos-cossincossinsincossinsinsincoscoscosnbC2020/8/1117第Ⅱ类欧拉角的线性化四定点转动刚体角位置的欧拉角描述11--1nbC两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第一次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。对于无限小角度转动，第Ⅱ类欧拉角的三个参数独立。2020/8/1118五定点转动刚体角速度的欧拉角描述ωψθ§1.1刚体的角位置与角速度描述方法sincossin0sinsincos0cos0sincossinsinsincoscosxbybzb2020/8/1119为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转动角速度在中间坐标系中的投影：222222222222xxxxyyyyzzzz22122112000000xynzCCC222sin00sin00cos0cosxyz2020/8/1120ωαβγ§1.1刚体的角位置与角速度描述方法五定点转动刚体角速度的欧拉角描述22200cos00cossin0sinxyz2020/8/1121§1.2常用参考坐标系一惯性坐标系1.日心惯性坐标系2.地心惯性坐标系日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。地心坐标系的原点设在地球中心处，x和y轴位于地球赤道平面并分别指向确定的恒星，z轴与地球自转轴（地球极轴）重合，并指向北极星。2020/8/1122§1.2常用参考坐标系二地球坐标系及其旋转角速度坐标系原点设在地球中心,三根轴与地球相固结。()0()0()eeeiexeieieyieiezω2020/8/1123§1.2常用参考坐标系三地理坐标系1.地固地理坐标系原点选在地球上任一点，三根轴与地球固结，东北天指向。()0()cossin()nnniexnninieieyieieiezωω2020/8/1124§1.2常用参考坐标系2.当地地理坐标系eeNeeERKVRVRKVRVcoscossincos原点设在沿地球表面运动的物体上，轴与地固地理坐标系的指向相同，不与地球固结。除随地球自转以外，还随物体相对地球运动，但不参与物体俯仰、倾斜等运动。NKVE2020/8/1125§1.2常用参考坐标系cos()sin()cos()sinsineinxnnininyIeneinznIeeVKRVKRVKtgR2.当地地理坐标系λωωiein2020/8/1126§1.2常用参考坐标系四地平坐标系原点设在运载体质心，y轴水平并沿载体运动方向,z轴铅直向上。coscossin00sinsincos0cos0001sinsincossincoscossinsinelileeeeeeeeeVKRKKVKωKKωR-KVKωtgRVωKRωKVKωtgKR2020/8/1127§1.2常用参考坐标系五载体坐标系坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。2020/8/1128§1.2常用参考坐标系六陀螺坐标系2020/8/1129哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考系的速度和加速度。§1.3刚体定点转动的一般原理一哥氏定理与哥氏加速度两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速度与两坐标系相对静止时有所差别。2020/8/1130两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别。nnpznnpynnpxnprrrkjirnnpznnnpynnnpxnnpnnpdtrddtrddtrddtdkjirvnnpznnnpynnnpxnnpnnpdtrddtrddtrddtdkjira22222222bbpzbbpybbpxbprrrkjirbbpzbbbpybbbpxbbpbbpdtrddtrddtrddtkjirvdbbpzbbbpybbbpxbbpbbpdtrddtrddtrddtdkjira22222222n系b系一哥氏定理与哥氏加速度2020/8/1131两个参考系之间相对转动时bpnbnprrrdtddtddtdbpnnbnnpnrrr()nbpnbpxbbpybbpzbnbpxnbpynbpznbnbnbbbbbpxbpybpzddrrrdtdtdrdrdrdddrrrdtdtdtdtdtdtrijkijkijkbpr大小变化b系的方位变化一哥氏定理与哥氏加速度bbpddtr2020/8/1132bnbbnbnbbnbnbbndtddtddtdkωkjωjiωi两个参考系之间相对转动时bpnbbpbbpndtddtdrωrr一哥氏定理与哥氏加速度2020/8/1133哥氏定理的向量表示同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的关系。只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，右边第一项为相对导数。bpnbbpbbpndtddtdrωrr一哥氏定理与哥氏加速度2020/8/1134由哥氏定理可得到速度合成公式bpnbbpbnbnnpndtddtddtdrωrrr质点相对于参考系的速度。坐标系相对于参考系的速度质点相对于坐标系的速度附加速度牵连速度一哥氏定理与哥氏加速度2020/8/1135对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：一哥氏定理与哥氏加速度2222()()nnpbbpnnbnnnbbpddddddtdtdtdtdtrrrωr2020/8/1136222222