专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题

1专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围既x∈R内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+10在x-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立时恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式.例如:x+10在x-5上是能成立的,在x-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1x9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：问题类型关键词1关键词2恒成立问题对任意，一切，所有恒成立，都成立，都有，总有，总是，能成立问题存在实数…使得，解集不是空集，有解恰成立问题解集是，值域是，一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA，()fx的下界大于A（2）若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB,()fx的上界小于A类型一：一次函数类型—用一次函数的性质对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立类型二：二次函数类型—用二次函数的图像2设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型三：二次函数在闭区间上恒成立的问题：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型四：分离变量法min)()(xfIxxf恒成立对一切max()()fxxIfx对一切恒成立。类型五：数形结合法1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。恒成立问题解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法（分离常数法）、数形结合等解题方法求解。例题：例1、（1）对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。解：分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转3化为一次不等式044)2(2xxax在]1,1[a上恒成立的问题。令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。例1、已知函数fx的定义域为R，求实参数k的取值范围：（1）22lg[(1)]yxkxk（2）2log241afxxkxk；（3）2241fxxkxk；（4）2log41afxkxkxk；解：（1）由题设可将问题转化为不等式22(1)0xkxk对Rx恒成立，即有22(1)40kk解得113kk或。所以实数k的取值范围为),31()1,(。（2）fx的定义域为R关于x的不等式22410xkxk的解集为R216810kk1210kk112k，∴11,2k。（3）fx的定义域为R关于x的不等式22410xkxk的解集为R216810kk1210kk112k，∴11,2k。（4）fx的定义域为R关于x的不等式2410kxkxk的解集为R0k或2016410kkkk0k或105k105k，∴10,5k二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB.例3、若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围4是．解：不等式能成立的问题.设aaxxxf2.则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3xf在,上能成立3minxf,即,3442minaaxf解得6a或2a例4、已知函数21ln22fxxaxx（0a）存在单调递减区间，求a的取值范围解：xaxxxhb221ln)(,22时，则.1221)(2xxaxaxxxh因为函数hx存在单调递减区间，所以()0hx有解.由题设可知,xh的定义域是,0,而0xh在,0上有解,就等价于0xh在区间,0能成立,即xxa212,,0x成立,进而等价于xuamin成立,其中xxxu212.由xxxu2121112x得,1minxu.于是,1a,由题设0a,所以a的取值范围是,00,1三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法若不等式Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式Bxf的解集为D.例5、已知,22xaxxxf当xfx,,1的值域是,0,试求实数a的值.解：是一个恰成立问题,这相当于022xaxxxf的解集是,1x.当0a时,由于1x时,3222xaxxaxxxf,与其值域是,0矛盾,当0a时,222xaxxaxxxf是,1上的增函数,5所以,xf的最小值为1f,令01f,即.3,021aa